Сечения конуса плоскостями, перпендикулярными к оси конуса, и плоскостями, проходящими через вершину конуса

Площадь сечения конуса плоскостью перпендикулярной к оси конусаСечения конуса. Площадь сечения конуса плоскостью, перпендикулярной к оси конуса
площадь сечения конуса плоскостью проходящей через вершину конусаПлощадь сечения конуса плоскостью, проходящей через вершину конуса
Площадь сечения конуса плоскостью перпендикулярной к оси конуса площадь сечения конуса плоскостью проходящей через вершину конуса

Площадь сечения конуса плоскостью, перпендикулярной к оси конуса

      Определение. Сечением конуса называют пересечение конуса с плоскостью.

      Решим следующую задачу.

      Задача 1. Дан конус с вершиной в точке   S ,   осью  SO,   радиусом основания   r   и высотой   h .   Рассмотрим сечение этого конуса плоскостью   α ,   перпендикулярной к оси конуса и пересекающей ось конуса в точке   O1.   Известно, что длина отрезка   SO1   равна   h1   (h1 < h).

      Найти площадь сечения конуса.

      Решение. Сечением конуса будет круг с центром   O1,   радиус которого обозначим символом   r1   (рис. 1).

Площадь сечения конуса плоскостью перпендикулярной к оси конуса
Площадь сечения конуса плоскостью перпендикулярной к оси конуса
Площадь сечения конуса плоскостью перпендикулярной к оси конуса

Рис.1

      Выберем какую-нибудь образующую конуса   SA и обозначим символом   A1 точку пересечения отрезка   SA с плоскостью   α .   Отрезок   SA1   будет образующей конуса с вершиной в точке   S ,   осью   SO1 ,   радиусом основания   r1   и высотой   h1.   Из подобия прямоугольных треугольников   SOA1   и   SOA   можно вычислить неизвестный радиус   r1:

Площадь сечения конуса плоскостью перпендикулярной к оси конуса

      Поэтому площадь круга с центром   O1   и радиусом   r1   равна

Площадь сечения конуса плоскостью перпендикулярной к оси конуса

      Решение завершено.

      Ответ: Площадь сечения конуса плоскостью перпендикулярной к оси конуса

Площадь сечения конуса плоскостью, проходящей через вершину конуса

      Задача 2. Дан конус с вершиной в точке   S,   осью   SO,   радиусом основания   r   и высотой   h.   Рассмотрим сечение этого конуса плоскостью, проходящей через вершину конуса и пересекающей окружность основания конуса в точках   A   и   B.

      Найти площадь сечения конуса, если известно, угол между прямой  SO и плоскостью сечения   SAB   равен   φ.

      Решение. Обозначим буквой   С   середину отрезка   AB   (рис. 2).

Площадь сечения конуса плоскостью проходящей через вершину конуса
Площадь сечения конуса плоскостью проходящей через вершину конуса

Рис.2

      Поскольку   OA   и   OB   – радиусы основания конуса, то треугольник   AOB   – равнобедренный. Следовательно,   OC   – высота треугольника   AOB. OC   – высота треугольника   AOB. OC   – высота треугольника   AOB.

      Поскольку   AS   и   BS   – образующие конуса, то треугольник   ASB   – равнобедренный. Следовательно,   SC   – высота треугольника   ASB. SC   – высота треугольника   ASB. SC   – высота треугольника   ASB.

      Таким образом, прямая   AB   перпендикулярна двум пересекающимся прямым   OC   и   SC ,   лежащим на плоскости   SOC .   В силу признака перпендикулярности прямой и плоскости отсюда вытекает, что прямая   AB   перпендикулярна к плоскости   SOC .

      Обозначим буквой   D   основание перпендикуляра, опущенного из точки   O   на прямую   SC   (рис. 3).

Площадь сечения конуса плоскостью проходящей через вершину конуса
Площадь сечения конуса плоскостью проходящей через вершину конуса

Рис.3

      Поскольку прямая   AB   перпендикулярна к плоскости   SOC ,   то прямая   AB   перпендикулярна и к прямой   OD .   Таким образом, прямая   OD   перпендикулярна двум пересекающимся прямым   SC   (по построению) и   AB ,   лежащим на плоскости   ASB .   В силу признака перпендикулярности прямой и плоскости отсюда вытекает, что прямая   AB   перпендикулярна к плоскости   ASB .   Следовательно,   SD   – то проекция отрезка   OS   на плоскость   ASB ,   то есть угол   DSO   равен   φ .

      Из прямоугольного треугольника   SOC   находим длину гипотенузы   SC   и катета   OC :

Площадь сечения конуса плоскостью проходящей через вершину конуса

      Из прямоугольного треугольника   AOC   по теореме Пифагора находим длину отрезка   AC :

Площадь сечения конуса плоскостью проходящей через вершину конуса
Площадь сечения конуса плоскостью проходящей через вершину конуса

      Теперь найдем площадь треугольника   ASB :

Площадь сечения конуса плоскостью проходящей через вершину конуса
Площадь сечения конуса плоскостью проходящей через вершину конуса

      Решение завершено.

      Ответ.Площадь сечения конуса плоскостью проходящей через вершину конуса

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре Резольвента

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.

До ЕГЭ по математике осталось
днейчасовминутсекунд

НАШИ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Справочник
по математике
для школьников
Наши учебные пособия
ОФИЦИАЛЬНЫЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Демонстрационные варианты ЕГЭ
НАШИ ПАРТНЕРЫ

Rambler's Top100    Рейтинг@Mail.ru 

Метрика Яндекса
Яндекс.Метрика