Mосква, Северо-восток

Сечения конуса плоскостями, перпендикулярными к оси конуса, и плоскостями, проходящими через вершину конуса

Площадь сечения конуса плоскостью перпендикулярной к оси конусаСечения конуса. Площадь сечения конуса плоскостью, перпендикулярной к оси конуса
площадь сечения конуса плоскостью проходящей через вершину конусаПлощадь сечения конуса плоскостью, проходящей через вершину конуса
Площадь сечения конуса плоскостью перпендикулярной к оси конуса площадь сечения конуса плоскостью проходящей через вершину конуса

Площадь сечения конуса плоскостью, перпендикулярной к оси конуса

      Определение. Сечением конуса называют пересечение конуса с плоскостью.

      Решим следующую задачу.

      Задача 1. Дан конус с вершиной в точке   S ,   осью  SO,   радиусом основания   r   и высотой   h .   Рассмотрим сечение этого конуса плоскостью   α ,   перпендикулярной к оси конуса и пересекающей ось конуса в точке   O1.   Известно, что длина отрезка   SO1   равна   h1   (h1 < h).

      Найти площадь сечения конуса.

      Решение. Сечением конуса будет круг с центром   O1,   радиус которого обозначим символом   r1   (рис. 1).

Площадь сечения конуса плоскостью перпендикулярной к оси конуса
Площадь сечения конуса плоскостью перпендикулярной к оси конуса
Площадь сечения конуса плоскостью перпендикулярной к оси конуса

Рис.1

      Выберем какую-нибудь образующую конуса   SA и обозначим символом   A1 точку пересечения отрезка   SA с плоскостью   α .   Отрезок   SA1   будет образующей конуса с вершиной в точке   S ,   осью   SO1 ,   радиусом основания   r1   и высотой   h1.   Из подобия прямоугольных треугольников   SOA1   и   SOA   можно вычислить неизвестный радиус   r1:

Площадь сечения конуса плоскостью перпендикулярной к оси конуса

      Поэтому площадь круга с центром   O1   и радиусом   r1   равна

Площадь сечения конуса плоскостью перпендикулярной к оси конуса

      Решение завершено.

      Ответ: Площадь сечения конуса плоскостью перпендикулярной к оси конуса

Площадь сечения конуса плоскостью, проходящей через вершину конуса

      Задача 2. Дан конус с вершиной в точке   S,   осью   SO,   радиусом основания   r   и высотой   h.   Рассмотрим сечение этого конуса плоскостью, проходящей через вершину конуса и пересекающей окружность основания конуса в точках   A   и   B.

      Найти площадь сечения конуса, если известно, угол между прямой  SO и плоскостью сечения   SAB   равен   φ.

      Решение. Обозначим буквой   С   середину отрезка   AB   (рис. 2).

Площадь сечения конуса плоскостью проходящей через вершину конуса
Площадь сечения конуса плоскостью проходящей через вершину конуса

Рис.2

      Поскольку   OA   и   OB   – радиусы основания конуса, то треугольник   AOB   – равнобедренный. Следовательно,   OC   – высота треугольника   AOB. OC   – высота треугольника   AOB. OC   – высота треугольника   AOB.

      Поскольку   AS   и   BS   – образующие конуса, то треугольник   ASB   – равнобедренный. Следовательно,   SC   – высота треугольника   ASB. SC   – высота треугольника   ASB. SC   – высота треугольника   ASB.

      Таким образом, прямая   AB   перпендикулярна двум пересекающимся прямым   OC   и   SC ,   лежащим на плоскости   SOC .   В силу признака перпендикулярности прямой и плоскости отсюда вытекает, что прямая   AB   перпендикулярна к плоскости   SOC .

      Обозначим буквой   D   основание перпендикуляра, опущенного из точки   O   на прямую   SC   (рис. 3).

Площадь сечения конуса плоскостью проходящей через вершину конуса
Площадь сечения конуса плоскостью проходящей через вершину конуса

Рис.3

      Поскольку прямая   AB   перпендикулярна к плоскости   SOC ,   то прямая   AB   перпендикулярна и к прямой   OD .   Таким образом, прямая   OD   перпендикулярна двум пересекающимся прямым   SC   (по построению) и   AB ,   лежащим на плоскости   ASB .   В силу признака перпендикулярности прямой и плоскости отсюда вытекает, что прямая   AB   перпендикулярна к плоскости   ASB .   Следовательно,   SD   – то проекция отрезка   OS   на плоскость   ASB ,   то есть угол   DSO   равен   φ .

      Из прямоугольного треугольника   SOC   находим длину гипотенузы   SC   и катета   OC :

Площадь сечения конуса плоскостью проходящей через вершину конуса

      Из прямоугольного треугольника   AOC   по теореме Пифагора находим длину отрезка   AC :

Площадь сечения конуса плоскостью проходящей через вершину конуса
Площадь сечения конуса плоскостью проходящей через вершину конуса

      Теперь найдем площадь треугольника   ASB :

Площадь сечения конуса плоскостью проходящей через вершину конуса
Площадь сечения конуса плоскостью проходящей через вершину конуса

      Решение завершено.

      Ответ.Площадь сечения конуса плоскостью проходящей через вершину конуса

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре Резольвента

      На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.

    Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными».

Запись по телефону (495) 509-28-10

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит

площадь сечения конуса плоскостью перпендикулярной к оси конуса площадь сечения конуса плоскостью проходящей через вершину конуса подготовительные курсы для школьников 10 и 11 классов

      У нас также для школьников организованы

площадь сечения конуса плоскостью перпендикулярной к оси конуса площадь сечения конуса плоскостью проходящей через вершину конуса индивидуальные занятия с репетиторами по математике и русскому языку

МОСКВА, СВАО, Учебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

До ЕГЭ по математике осталось
днейчасовминутсекунд

НАШИ УСЛУГИ
Подготовительные курсы к ОГЭ и ЕГЭ
Подготовка к итоговому сочинению
Репетиторы
для школьников
НАШИ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Справочник
по математике
для школьников
Наши учебные пособия
ОФИЦИАЛЬНЫЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Демонстрационные варианты ЕГЭ
НАШИ ПАРТНЕРЫ

Rambler's Top100    Рейтинг@Mail.ru 

Метрика Яндекса
Яндекс.Метрика