Справочник по математике

Геометрия (Стереометрия)

Вписанные и описанные фигуры

Конус, вписанный в призму

Конус, вписанный в призму

Отношение объемов конуса и описанной около него правильной n - угольной призмы

Конус, вписанный в призму

      Определение 1. Конусом, вписанным в призму, называют такой конус, у которого основание вписано в одно из оснований призмы, а вершина лежит на другом основании призмы (рис. 1).

      Определение 2. Если конус вписан в призму, то призму называют описанной около конуса.

Рис.1

      Замечание. Высота конуса равна высоте призмы, описанной около него.

      Утверждение. В любую правильную призму можно вписать конус.

      Доказательство. По определению у правильной призмы основаниями являются правильные многоугольники, а боковые ребра перпендикулярны к плоскостям оснований. Поскольку в любой правильный многоугольник можно вписать окружность, а отрезок, соединяющий центры окружностей, вписанных в основания призмы, параллелен боковому ребру призмы (в данном случае перпендикулярен основаниям), то можно построить конус, у которого основание вписано в одно из оснований правильной призмы, а вершина совпадает с центром другого основания правильной призмы. Этот конус и будет вписан в правильную призму (рис. 2).

Рис.2

      Доказательство завершено.

Отношение объемов конуса и описанной около него правильной
n - угольной призмы

      Задача. Найти отношение объемов конуса и описанной около него правильной n - угольной призмы.

      Решение. Поскольку объем конуса вычисляется по формуле

а объем призмыобъем призмы вычисляется по формуле

V_призмы = S_{осн. призмы} h,

а высота конуса равна высоте описанной около него призмы, то для объемов конуса и описанной около него правильной n - угольной призмы справедливо равенство

      Поскольку площадь правильного n - угольника выражается через радиус   r   вписанной в этот многоугольник окружности по формуле

то справедливо равенство

      Ответ.

      Следствие 1. Отношение объема конуса к объему описанной около него правильной треугольной призмы правильной треугольной призмы равно

      Следствие 2. Отношение объема конуса к объему описанной около него правильной четырехугольной призмы правильной четырехугольной призмы равно

      Следствие 3. Отношение объема конуса к объему описанной около него правильной шестиугольной призмы равно

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.