Справочник по математике

Геометрия (Стереометрия)

Вписанные и описанные фигуры

Пирамида, вписанная в конус

Пирамида, вписанная в конус. Свойства пирамиды, вписанной в конус

Отношение объемов конуса и вписанной в него правильной n - угольной пирамиды

Пирамида, вписанная в конус. Свойства пирамиды, вписанной в конус

      Определение 1. Пирамидой, вписанной в конус, называют такую пирамиду, у которой основание вписано в основание конуса, а вершина совпадает с вершиной конуса (рис. 1).

      Определение 2. Если пирамида вписана в конус, то конус называют описанным около пирамиды.

Рис.1

      Замечание. Если пирамида вписана в конус, ее боковые ребра равны и являются образующими конуса, вершина пирамиды лежит на оси конуса, а высота пирамиды равна высоте конуса.

      Теорема 1. Около пирамиды можно описать конус тогда и только тогда, когда выполнены следующие два условия:

1. Около основания пирамиды можно описать окружность;
2. Основанием перпендикуляра, опущенного из вершины пирамиды на плоскость основания пирамиды, является центр описанной около основания пирамиды окружности.

      Доказательство. Поскольку перпендикуляр, опущенный из вершины конуса на плоскость его основания, проходит через центр основания конуса, то для пирамиды, вписанной в конус, справедливость обоих условий теоремы вытекает из определения конуса, описанного около пирамиды.

      Теперь рассмотрим пирамиду   SA₁A₂ ... A_n ,   для которой выполнены условия 1 и 2 теоремы, и докажем, что около нее можно описать конус.

      Пусть   O   – центр круга, окружность которого описана около основания   A₁A₂ ... A_n пирамиды. Поскольку отрезок   SO   перпендикулярен плоскости основания пирамиды, то, соединив все точки этого круга с вершиной пирамиды   S , мы получим конус с осью   OS,   описанный около пирамиды   SA₁A₂ ... A_n   (рис. 2).

Рис.2

      Теорема доказана.

      Поскольку около любого правильного многоугольника можно описать окружность, то из доказанной теоремы 1 непосредственно вытекает

      Следствие 1. Около любой правильной пирамиды можно описать конус.

      Теорема 2. Около пирамиды можно описать конус тогда и только тогда, когда все боковые ребра пирамиды равны.

      Доказательство. Действительно, если пирамида вписана в конус, то ее боковые ребра являюся образующими конуса, и, значит, равны между собой.

      Рассмотрим теперь пирамиду   SA₁A₂ ... A_n   высоты   h ,   у которой все боковые ребра

SA₁ = SA₂ = ... = SA_n = l ,

и докажем, что около ее основания можно описать окружность. Пусть точка   O   – основание перпендикуляра, опущенного из вершины   S   на плоскость основания пирамиды (рис. 3).

Рис.3

      Все прямоугольные треугольники   SOA₁ ,   SOA₂ , ... ,   SOA_n   равны, поскольку у них равны гипотенузы SA₁ ,   SA₂ , ... ,   SA_n ,   а катет   SO   является общим. Следовательно,

OA₁ = OA₂ = ... = OA_n .

      Отсюда вытекает, что многоугольник   A₁A₂ ... A_n   вписан в окружность с центром в точке   O .   Радиус этой окружности можно найти по теореме Пифагора

.

      По теореме 1 около такой пирамиды можно описать конус.

      Доказательство теоремы 2 завершено.

Отношение объемов конуса и вписанной в него правильной
n - угольной пирамиды

      Задача. Найти отношение объемов конуса и вписанной в него правильной n - угольной пирамиды.

      Решение. Поскольку и объем конуса, и объем пирамиды вычисляются по формуле

,

а высота конуса равна высоте описанной около него пирамиды , то для объемов конуса и описанной около него правильной n - угольной пирамиды справедливо равенство

      Поскольку площадь правильного n - угольника выражается через радиус   R   описанной около этого многоугольника окружности по формуле

то справедливо равенство

      Ответ.

      Следствие 2. Отношение объема правильной треугольной пирамиды к объему конуса, описанного около данной пирамиды, равно

      Следствие 3. Отношение объема правильного тетраэдра к объему конуса, описанного около данного тетраэдра, равно

      Следствие 4. Отношение объема правильной четырехугольной пирамиды к объему конуса, описанного около данной пирамиды, равно

      Следствие 5. Отношение объема правильной шестиугольной пирамиды к объему конуса, описанного около данной пирамиды, равно

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.