Октаэдр. Объем и площадь поверхности октаэдра

октаэдр площадь поверхности октаэдра объем октаэдраОктаэдр
октаэдр площадь поверхности октаэдра объем октаэдраОбъем и площадь поверхности октаэдра
октаэдр площадь поверхности октаэдра объем октаэдра теорема Эйлера

Октаэдр

      Рассмотрим куб куб и обозначим символами   A   и   A',   B   и   B',   C   и   C'   центры его противоположных граней (рис. 1).

октаэдр теорема Эйлера
октаэдр теорема Эйлера

Рис.1

      Фигуру, состоящую из двух равных правильных четырехугольных пирамид   ABC'B'C   и   A'BC'B'C   с общим основанием   BC'B'C, называют октаэдром (рис. 2).

октаэдр теорема Эйлера
октаэдр теорема Эйлера

Рис.2

      Вершины правильных четырехугольных пирамид   ABC'B'C   и   A'BC'B'C   называют вершинами октаэдра, ребра этих пирамид называют ребрами октаэдра, а боковые грани пирамид называют гранями октаэдра. Отрезки   AA',   BB'   и   CC' называют диагоналями октаэдра.

      Теорема Эйлера . Для октаэдра справедливо равенство:

число вершин
+
число граней
число ребер
=2
число
вершин
+
число
граней
число
ребер
=2
число
вершин
+
число
граней
число
ребер
=2

     Для доказательства теоремы Эйлера достаточно заметить, что у октаэдра   8   граней,   6   вершин и  12   ребер.

      Свойства октаэдра:

свойства октаэдра

Все ребра октаэдра равны.

свойства октаэдра

Все грани октаэдра являются равными равносторонними (правильными) треугольниками.

свойства октаэдра

Диагонали октаэдра равны.

свойства октаэдра

Диагонали октаэдра взаимно перпендикулярны.

свойства октаэдра

Диагонали октаэдра пересекаются в одной точке и делятся в точке пересечения пополам.

Объем и площадь поверхности октаэдра

      Обозначим буквой   a   длину ребра октаэдра   AA'BB'CC' (рис. 3).

Объем и площадь поверхности октаэдра
Объем и площадь поверхности октаэдра

Рис.3

      Для того, чтобы найти объем октаэдра   AA'BB'CC',   заметим, что этот объем равен удвоенному объему правильной четырехугольной пирамиды   ABC'B'C.   Основанием пирамиды   ABC'B'C   является квадрат со стороной   a,   а высота пирамиды равна длине отрезка   AO.

      Следовательно, площадь основания пирамиды

SBCB'C' = a 2,

высота пирамиды

объем октаэдра

объем пирамиды

объем октаэдра
объем октаэдра

Поэтому объем октаэдра

объем октаэдра

      Поскольку площадь грани октаэдра

площадь поверхности октаэдра

то площадь поверхности октаэдра

площадь поверхности октаэдра

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре Резольвента

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.

До ЕГЭ по математике осталось
днейчасовминутсекунд











Готовитесь
к ЕГЭ?

(495) 509-28-10
Учебные материалы для подготовки к ЕГЭУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»
НАШИ ПАРТНЕРЫ

Rambler's Top100    Рейтинг@Mail.ru 

Метрика Яндекса
Яндекс.Метрика