Справочник по математике

Геометрия (Стереометрия)

Вписанные и описанные фигуры

Призма, вписанная в сферу

Призма, вписанная в сферу. Свойства призмы, вписанной в сферу

Радиус сферы, описанной около правильной n - угольной призмы

Отношение объема правильной n - угольной призмы к объему шара, ограниченного описанной около этой призмы сферой

Призма, вписанная в сферу. Свойства призмы, вписанной в сферу

      Определение 1. Призмой, вписанной в сферу, называют такую призму, все вершины которой лежат на сфере (рис. 1).

      Определение 2. Если призма вписана в сферу, то сферу называют описанной около призмы.

Рис.1

      Теорема. Около призмы можно описать сферу тогда и только тогда, когда выполнены следующие два условия:

1. Призма является прямой призмой;
2. Около оснований призмы можно описать окружности.

      Доказательство. Докажем сначала, что если   n – угольная призма   A₁A₂ ... A_nA'₁A'₂ ... A'_n вписана в сферу, то оба условия теоремы выполнены.

      Для этого заметим, что плоскость каждого из оснований призмы пересекает сферу по окружности, на которой лежат вершины этого основания. Таким образом, многоугольники, являющиеся основаниями призмы, оказываются вписанными в окружности (рис. 1), то есть второе условие теоремы выполнено.

      Каждая из боковых граней призмы также вписана в окружность (рис. 2).

Рис.2

      В разделе «Призмы» доказано, что каждая из боковых граней призмы – параллелограмм. Но около параллелограмма можно описать окружность тогда и только тогда, когда этот параллелограмм – прямоугольник. Следовательно, все боковые грани призмы являются прямоугольниками.

      Рассмотрим какое-нибудь боковое ребро призмы, например,   A₂A'₂.   Поскольку это ребро перпендикулярно к ребрам основания   A₁A₂   и   A₂A₃,   то в силу признака перпендикулярности прямой и плоскости заключаем, что боковое ребро   A₂A'₂   перпендикулярно к плоскости основания призмы, то есть призма является прямой призмой.

      Таким образом, мы доказали, что, если призма вписана в сферу, то оба условия теоремы выполнены.

      Теперь рассмотрим прямую n – угольную призму   A₁A₂ ... A_nA'₁A'₂ ... A'_n   высоты   h,   около оснований которой можно описать окружности, и докажем, что около такой призмы можно описать сферу.

      Для этого обозначим символом   O₁   центр окружности радиуса   r, описанной около нижнего основания призмы, а символом   O'₁   обозначим центр окружности, описанной около верхнего основания призмы (рис. 3).

Рис.3

      Поскольку многоугольники, лежащие в основаниях призмы равны, то и радиусы описанных около них окружностей будут равны.

      Согласно утверждению 1 из раздела «Призмы, вписанные в цилиндры» отрезок   O₁O'₁,   соединяющий центры окружностей, описанных около нижнего и верхнего оснований призмы, параллелен и равен боковому ребру призмы. Так как рассматриваемая призма прямая, то ее боковые ребра перпендикулярны плоскости основания и равны высоте призмы   h.   Значит, и отрезок   O₁O'₁   перпендикулярен плоскости основания призмы и равен   h.

      Обозначим буквой   O   середину отрезка   O₁O'₁   и докажем, что все вершины призмы будут находиться на одном и том же расстояниии от точки   O   (рис. 4).

Рис.4

      C помощью теоремы Пифагора из равных прямоугольных треугольников   OA₁O₁,   OA₂O₁,   ...   OA_nO₁,   OA'₁O'₁,   OA'₂O'₁,   ...   OA'_nO'₁   получаем, что точка   O   находится на расстоянии

(1)

от всех вершин призмы. Отсюда следует, что точка   O   является центром сферы радиуса   R  , описанной около призмы.

      Теорема доказана.

      Следствие 1. Около любой прямой треугольной призмы можно вписать сферу.

      Справедливость следствия 1 вытекает из того, что около любого треугольника можно описать окружность.

      Следствие 2. Около любого прямоугольного параллелепипеда (в частности, около куба прямоугольного параллелепипеда (в частности, около куба) можно описать сферу.

      Справедливость следствия 2 вытекает из того, что около любого прямоугольника можно описать окружность.

      Следствие 3. Около любой правильной призмы можно описать сферу.

      Для доказательства следствия 3 достаточно заметить, что правильная n – угольная призма – это прямая призма, основания которой являются правильными n – угольниками, а около любого правильного n – угольника можно описать окружность.

Радиус сферы, описанной около правильной n - угольной призмы

      Задача 1. Найти радиус сферы, описанной около правильной n - угольной призмы с высотой   h   и ребром основания   a.

      Решение. Поскольку радиус описанной около правильного n - угольника окружности выражается через сторону этого многоугольникарадиус описанной около правильного n - угольника окружности выражается через сторону этого многоугольника по формуле

то из формулы (1) получаем выражение для радиуса описанной сферы

(2)

      Ответ.

      Следствие 4. Радиус сферы, описанной около правильной треугольной призмы правильной треугольной призмы с высотой   h   и ребром основания   a   равен

      Следствие 5. Радиус сферы, описанной около правильной четырехугольной призмы правильной четырехугольной призмы с высотой   h   и ребром основания   a   равен

      Следствие 6. Радиус сферы, описанной около около правильной шестиугольной призмы с высотой   h   и ребром основания   a   равен

Отношение объема правильной n - угольной призмы к объему шара, ограниченного описанной около призмы сферой

      Задача 2. Около правильной n - угольной призмы с высотой   h   и ребром основания   a   описана сфера. Найти отношение объемов призмы и шара, ограниченного сферой, описанной около данной призмы.

      Решение. Объем шара выражается через его радиус по формуле

      Воспользовавшись формулой (2), выразим объем шара, ограниченного описанной около призмы сферой, через высоту и ребро основания призмы:

      Объем правильной n - угольной призмы найдем по формулеОбъем правильной n - угольной призмы найдем по формуле:

      Таким образом,

      Ответ.

      Следствие 7. Отношение объема правильной треугольной призмы с высотой   h   и ребром основания   a   к объему шара, ограниченного сферой, описанной около данной призмы, равно

      Следствие 8. Отношение объема правильной четырехугольной призмы правильной четырехугольной призмы с высотой   h   и ребром основания   a   к объему шара, ограниченного сферой, описанной около данной призмы, равно

      Следствие 9. Отношение объема правильной шестиугольной призмы с высотой   h   и ребром основания   a   к объему шара, ограниченного сферой, описанной около данной призмы, равно

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.