Обратные тригонометрические функции

      Предположим, что число a удовлетворяет неравенству Обратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенс. Число x называют арксинусом числа a и обозначают   x = arcsin a, если выполнены два условия:

Обратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенс

      Предположим, что число a удовлетворяет неравенству Обратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенс. Число x называют арккосинусом числа a и обозначают   x = arccos a, если выполнены два условия:

Обратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенс

      Рассмотрим произвольное число a . Число x называют арктангенсом числа a и обозначают   x = arctg a, если выполнены два условия:

Обратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенс

      Рассмотрим произвольное число a . Число x называют арккотангенсом числа a и обозначают   x = arcctg a, если выполнены два условия:

Обратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенс

      Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс удовлетворяют, в частности, следующим соотношениям:

Обратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенс
Обратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенс
arcsin (– a) = – arcsin a ,
arccos (– a) =
=
π – arccos a ,
arctg (– a) = – arctg a ,
arcctg (– a) =
=
π – arcctg a .

      Обратными тригонометрическими функциями называют функции:

Обратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенс

     Графики этих функций изображены на рисунках 1, 2, 3, 4.

Обратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенс
Обратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенс

      Рис. 1. График функции   y = arcsin x

      Таблица значений функции   y = arcsin x

x– 1Обратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенсОбратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенсОбратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенс 0 Обратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенсОбратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенсОбратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенс1
y = arcsin xОбратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенсОбратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенсОбратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенсОбратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенс0Обратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенсОбратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенсОбратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенсОбратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенс
xy = arcsin x
– 1Обратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенс
Обратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенсОбратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенс
Обратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенсОбратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенс
Обратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенсОбратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенс
 0 0
Обратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенсОбратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенс
Обратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенсОбратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенс
Обратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенсОбратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенс
1Обратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенс

Обратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенс
Обратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенс

      Рис. 2. График функции   y = arccos x

      Таблица значений функции   y = arccos x

x– 1Обратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенсОбратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенсОбратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенс 0 Обратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенсОбратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенсОбратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенс 1 
y = arccos xπОбратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенсОбратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенсОбратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенсОбратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенсОбратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенсОбратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенсОбратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенс0
xy = arccos x
– 1π
Обратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенсОбратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенс
Обратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенсОбратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенс
Обратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенсОбратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенс
 0 Обратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенс
Обратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенсОбратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенс
Обратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенсОбратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенс
Обратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенсОбратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенс
 1 0

Обратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенс
Обратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенс

      Рис. 3. График функции   y = arctg x

      Таблица значений функции   y = arctg x

xОбратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенс– 1Обратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенс0Обратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенс 1 Обратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенс
y = arctg xОбратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенсОбратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенсОбратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенс 0 Обратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенсОбратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенсОбратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенс
xy = arctg x
Обратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенсОбратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенс
– 1Обратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенс
Обратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенсОбратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенс
0 0 
Обратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенсОбратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенс
 1 Обратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенс
Обратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенсОбратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенс

Обратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенс
Обратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенс

      Рис. 4. График функции   y = arcctg x

      Таблица значений функции   y = arcctg x

xОбратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенс– 1Обратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенс0Обратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенс1Обратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенс
y = arcctg xОбратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенсОбратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенсОбратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенсОбратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенсОбратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенсОбратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенсОбратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенс
xy = arcctg x
Обратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенсОбратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенс
– 1Обратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенс
Обратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенсОбратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенс
0Обратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенс
Обратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенсОбратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенс
1Обратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенс
Обратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенсОбратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенс

      Пример. Решить уравнение

2 arcsin 2x = arccos 7x .

      Решение. Возьмём косинус от обеих частей уравнения. Тогда в левой части уравнения получим:

cos ( 2 arcsin 2x ) = 1 – 2sin2( arcsin 2x ) = 1 – 2 ( 2x )2 = 1 – 8x2 .

cos ( 2 arcsin 2x ) =
= 1 – 2sin2( arcsin 2x ) =
= 1 – 2 ( 2x )2 = 1 – 8x2 .

      В правой части уравнения получим:

cos ( arccos 7x ) = 7x.

      Следовательно, возникает квадратное уравнение:

Обратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенс
Обратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенс

      В силу того, что область определения обратных тригонометрических функций   y = arcsin x и   y = arccos x   имеет вид: Обратные тригонометрические функции арккосинус, второй корень должен быть отброшен.

      Ответ: Обратные тригонометрические функции арккосинус

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре Резольвента

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.

До ЕГЭ по математике осталось
днейчасовминутсекунд




НАШИ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Справочник
по математике
для школьников
Наши учебные пособия





НАШИ ПАРТНЕРЫ

Rambler's Top100    Рейтинг@Mail.ru 

Метрика Яндекса
Яндекс.Метрика