Справочник по математике

Геометрия (Стереометрия)

Вписанные и описанные фигуры

Сфера, вписанная в конус

Сфера, вписанная в конус

Отношение объемов шара и конуса, описанного около сферы, ограничивающей этот шар

Сфера, вписанная в конус

      Определение 1. Сферой, вписанной в конус, называют такую сферу, которая касается плоскости основания конуса, а каждая из образующих конуса является касательной к сфере (рис. 1).

Рис.1

      Определение 2. Если сфера вписана в конус, то конус называют описанным около сферы.

      Утверждение. В любой конус можно вписать сферу.

      Доказательство. Рассмотрим сечение конуса плоскостью, проходящей через ось конуса (осевое сечение конуса). Сечением является равнобедренный треугольник   ASB   с боковыми сторонами   AS   и   BS   и высотой   SO ,   опущенной из вершины   S   на основание   AB   (рис.2).

Рис.2

      Отрезки   AS   и   BS   являются образующими конуса. Центр   O'   окружности, вписанной в треугольник   ASB ,   лежит на оси конуса   SO ,   а радиус этой окружности будет равен радиусу сферы с центром   O' ,   вписанной в данный конус.

      Доказательство утверждения завершено.

Отношение объемов шара и конуса, описанного около сферы, ограничивающей этот шар

      Задача. В конус с радиусом основания   R   и образующей   l   вписана сфера. Найти отношение объемов шара и конуса, описанного около сферы, ограничивающей этот шар.

      Решение. Рассмотрим сечение конуса плоскостью, проходящей через ось конуса. Сечением является равнобедренный треугольник   ASB ,   боковые стороны   AS   и   BS   которого равны  l ,   а основание   AB   равно   2R   (рис.3).

Рис.3

Для того, чтобы найти радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник   ASB ,   воспользуемся следующей формулой следующей формулой следующей формулой

      Следовательно, объем шара, ограниченного вписанной сферой, равен

      а объем конуса

      Поэтому

      Ответ.

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.