Справочник по математике

Геометрия (Стереометрия)

Вписанные и описанные фигуры

Сфера, вписанная в цилиндр

Касательная прямая к сфере. Касательная плоскость к сфере

Сфера, вписанная в цилиндр

Отношение объемов шара и цилиндра, описанного около сферы, ограничивающей этот шар

Касательная прямая к сфере. Касательная плоскость к сфере

      Определение 1. Прямую называют касательной к сфере (прямой, касающейся сферы), если эта прямая имеет со сферой единственную общую точку. Общую точку касательной прямой и сферы называют точкой касания (рис. 1).

Рис.1

      Прямая касается сферы тогда и только тогда, когда эта прямая проходит через точку касания и перпендикулярна радиусу сферы, проведенному в точку касания.

      Множество всех прямых, касающихся сферы в некоторой точке, образуют касательную плоскость к сфере в этой точке (рис.2).

Рис.2

      Плоскость касается сферы тогда и только тогда, когда плоскость и сфера имеют общую точку, причем только одну.

      Плоскость касается сферы тогда и только тогда, когда плоскость и сфера имеют общую точку, причем плоскость перпендикулярна радиусу сферы, проведенному в эту точку.

      Общую точку сферы и ее касательной плоскости называют точкой касания.

Сфера, вписанная в цилиндр

      Определение 2.Сферой, вписанной в цилиндр, называют такую сферу, которая касается плоскостей обоих оснований цилиндра, а каждая образующая цилиндра является касательной к сфере (рис. 3).

Рис.3

      Определение 3. Если сфера вписана в цилиндр, то цилиндр называют описанным около сферы.

      Из рисунка 3 видно, что справедливы следующие два утверждения.

      Утверждение 1. Около любой сферы можно описать цилиндр.

      Утверждение 2. В цилиндр можно вписать сферу тогда и только тогда, когда высота цилиндра равна диаметру его основания.

      Замечание. В том случае, когда в цилиндр можно вписать сферу, радиус вписанной сферы равняется радиусу основания цилиндра.

Отношение объемов шара и цилиндра, описанного около сферы, ограничивающей этот шар

       Задача. Найти отношение объемов шара и цилиндра, описанного около сферы, ограничивающей этот шар.

      Решение. Если   R   – радиус шара, то объем шара вычисляется по формуле

      У описанного около сферы цилиндра радиус основания равен   R ,   а высота равна   2R . Поэтому объем цилиндра равен

      Следовательно,

      Ответ.

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.