Справочник по математике

Геометрия (Стереометрия)

Вписанные и описанные фигуры

Пирамида, вписанная в сферу

Пирамида, вписанная в сферу. Свойства пирамиды, вписанной в сферу

Радиус сферы, описанной около правильной n - угольной пирамиды

Отношение объемов правильной n - угольной пирамиды и шара, ограниченного сферой, описанной около данной пирамиды

Пирамида, вписанная в сферу. Свойства пирамиды, вписанной в сферу

      Определение 1. Пирамидой, вписанной в сферу, называют такую пирамиду, все вершины которой лежат на сфере (рис. 1).

      Определение 2. Если пирамида вписана в сферу, то сферу называют описанной около пирамиды.

Рис.1

      Теорема 1. Около пирамиды можно описать сферу тогда и только тогда, когда около основания пирамиды можно описать окружность.

      Доказательство. Докажем сначала, что, если пирамида вписана в сферу, то около ее основания можно описать окружность. Для этого рассмотрим рисунок 2.

Рис.2

      На рисунке 2 изображена пирамида   SA₁A₂ ... A_n ,   вписанная в сферу. Плоскость основания пирамиды пересекает сферу по окружности, в которую вписан многоугольник   A₁A₂ ... A_n   – основание пирамиды. Доказано.

      Теперь предположим, что около основания   A₁A₂ ... A_n   пирамиды   SA₁A₂ ... A_n   можно описать окружность. Докажем, что в этом случае около пирамиды   SA₁A₂ ... A_n   можно описать сферу. С этой целью обозначим центр окружности, описанной около многоугольника   A₁A₂ ... A_n , символом   O'   и проведем прямую   p,   проходящую через точку   O'   и перпендикулярную к плоскости многоугольника   A₁A₂ ... A_n   (рис. 3).

Рис.3

      Рассмотрим плоскость   β,   проходящую через середину отрезка   SA_n   и перпендикулярную к этому отрезку. Если обозначить буквой   O   точку пересечения плоскости   β   с прямой   p,   то точка   O   и будет центром сферы, описанной около пирамиды   SA₁A₂ ... A_n .   Для того, чтобы это доказать, рассмотрим следующий рисунок 4.

Рис.4

      Докажем, что точка   O   находится на одном и том же расстоянии от точек   S ,   A₁ ,   A₂ ,   ...  ,   A_n .   Поскольку точка   O   лежит на серединном перпендикуляре к отрезку   SA_n ,   то расстояния   OS   и   OA_n   равны. С другой стороны, отрезки   OA₁ ,   OA₂ ,   ...  ,   OA_n   как гипотенузы в равных прямоугольных треугольниках   OO'A₁ ,   OO'A₂ ,   ...  ,   OO'A_n .   (Треугольники   OO'A₁ ,   OO'A₂ ,   ...  ,   OO'A_n   равны, так как у них катет   OO'   общий, а катеты O'A₁ ,   O'A₂ ,   ... ,   O'A_n равны как радиусы окружности, описанной около многоугольника   A₁A₂ ... A_n  ).

      Итак, мы доказали, что точка   O   находится на одном и том же расстоянии от всех вершин пирамиды   SA₁A₂ ... A_n .   Отсюда вытекает, что точка   O   является центром сферы, описанной около пирамиды   SA₁A₂ ... A_n .

      Для завершения доказательства теоремы остается лишь доказать, что плоскость   β   и прямая   p   действительно пересекаются. Если предположить, что это не так, то из такого предположения будет следовать, что плоскость   β   и прямая   p   параллельны, а, значит, точка   S   лежит в плоскости   A₁A₂ ... A_n ,   что противоречит определению пирамиды.

      Теорема доказана.

      Следствие 1. Около любой правильной пирамиды можно описать сферу.

      Следствие 2. Если у пирамиды все боковые ребра равны, то около нее можно описать сферу.

      Указание. Основание перпендикуляра, опущенного из вершины такой пирамиды на плоскость ее основания, является центром описанной около основания окружности. Посмотреть доказательство.

Радиус сферы, описанной около правильной n - угольной пирамиды

      Задача 1. Высота правильной n - угольной пирамиды равна   h ,   а длина ребра основания равна   a .   Найти радиус сферы, описанной около пирамиды.

      Решение. Рассмотрим правильную n - угольную пирамиду   SA₁A₂ ... A_n   и обозначим буквой   O   центр описанной около пирамиды сферы, а символом   O'   – центр основания пирамиды. Проведем плоскость   SO'A_n   (рис. 5).

Рис.5

      Буквой   R   на рисунке 5 обозначен радиус описанной около пирамиды сферы, а буквой   r   – радиус описанной около основания пирамиды окружности. По теореме Пифагора для треугольника   O'OA_n   получаем

R² = (h – R)² + r²;

R² = h² – 2hR + R² + r²;

2hR = h² + r².

      Следовательно,

(1)

      Поскольку

из формулы (1) получаем соотношение

(2)

      Ответ.

      Следствие 3. Радиус сферы, описанной около правильной треугольной пирамиды с высотой   h   и ребром основания   a ,   равен

      Следствие 4. Радиус сферы, описанной около правильного тетраэдра с ребром   a ,   равен

      Следствие 5. Радиус сферы, описанной около правильной четырехугольной пирамиды с высотой   h   и ребром основания   a ,   равен

      Следствие 6. Радиус сферы, описанной около правильной шестиугольной пирамиды с высотой   h   и ребром основания   a ,   равен

Отношение объемов правильной n - угольной пирамиды и шара, ограниченного сферой, описанной около данной пирамиды

      Задача 2. Около правильной n - угольной пирамиды с высотой   h   и ребром основания   a   описана сфера. Найти отношение объемов пирамиды и шара, ограниченного сферой, описанной около данной пирамиды.

      Решение. Объем шара выражается через его радиус по формуле

      Воспользовавшись формулой (2), выразим объем шара, ограниченного описанной около пирамиды сферой, через высоту и ребро основания пирамиды:

      Объем правильной n - угольной пирамиды найдем по формуле Объем правильной n - угольной пирамиды найдем по формуле:

      Таким образом,

      Ответ.

      Следствие 7. Отношение объема правильной треугольной пирамиды с высотой   h   и ребром основания  a   к объему шара, ограниченного сферой, описанной около данной пирамиды, равно

      Следствие 8. Отношение объема правильного тетраэдр с ребром   a   к объему шара, ограниченного сферой, описанной около данного тетраэдра, равно

      Следствие 9. Отношение объема правильной четырехугольной пирамиды с высотой   h   и ребром основания   a   к объему шара, ограниченного сферой, описанной около данной призмы, равно

      Следствие 10. Отношение объема правильной шестиугольной пирамиды с высотой   h   и ребром основания   a   к объему шара, ограниченного сферой, описанной около данной призмы, равно

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.