Медиана треугольника

      Определение. Медианой треугольника называют отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны (рис 1).

Медиана треугольника свойства формулы длина медианы

Рис.1

      Поскольку в каждом треугольнике имеется три вершины, то в каждом треугольнике можно провести три медианы.

      На рисунке 1 медианой является отрезок BD.

      Утверждение 1. Медиана треугольника делит его на два треугольника равной площади (равновеликих треугольника).

      Доказательство. Проведем из вершины B треугольника ABC медиану BD и высоту BE (рис. 2),

Медиана треугольника свойства формулы длина медианы

Рис.2

и заметим, что (см. раздел нашего справочника «Площадь треугольника»)

Медиана треугольника свойства формулы длина медианы
Медиана треугольника свойства формулы длина медианы

      Поскольку отрезок BD является медианой, то

Медиана треугольника свойства формулы длина медианы

что и требовалось доказать.

      Утверждение 2. Точка пересечения двух любых медиан треугольника делит каждую из этих медиан в отношении 2 : 1, считая от вершины треугольника.

      Доказательство. Рассмотрим две любых медианы треугольника, например, медианы AD и CE, и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 3).

Медиана треугольника свойства формулы длина медианы

Рис.3

      Обозначим середины отрезков AO и CO буквами F и G соответственно (рис. 4).

Медиана треугольника свойства формулы длина медианы

Рис.4

      Теперь рассмотрим четырёхугольник FEDG (рис. 5).

Медиана треугольника свойства формулы длина медианы

Рис.5

      Сторона ED этого четырёхугольника является средней линией в треугольнике ABC. Следовательно,

Медиана треугольника свойства формулы длина медианы

      Сторона FG четырёхугольника FEDG является средней линией в треугольнике AOC. Следовательно,

Медиана треугольника свойства формулы длина медианы

откуда вытекает, что стороны ED и FG четырёхугольника FEDG равны и параллельны. Следовательно, четырехугольник FEDG является параллелограммомСледовательно, четырехугольник FEDG является параллелограммомСледовательно, четырехугольник FEDG является параллелограммом, а у параллелограмма диагонали в точке пересечения делятся пополаму параллелограмма диагонали в точке пересечения делятся пополаму параллелограмма диагонали в точке пересечения делятся пополам (рис.6).

Медиана треугольника свойства формулы длина медианы

Рис.6

      Таким образом,

| FO | = | OD | ,       | GO | = | OE | .

      Следовательно,

| AF | = | FO | = | OD | ,       | CG | = | GO | = | OE | .

      Отсюда вытекает, что точка O делит каждую из медиан AD и CE в отношении   2 : 1, считая от вершины треугольника.

      Доказательство завершено.

      Следствие. Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке.

      Доказательство. Рассмотрим медиану AD треугольника ABC и точку O, которая делит эту медиану в отношении   2 : 1, считая от вершины A (рис.7).

Медиана треугольника свойства формулы длина медианы

Рис.7

      Поскольку точка, делящая отрезок в заданном отношении, является единственной, то и другие медианы треугольника будут проходить через эту точку, что и требовалось доказать.

      Определение. Точку пересечения медиан треугольника называют центроидом треугольника.

      Утверждение 3. Медианы треугольника делят треугольник на 6 равновеликих треугольников (рис. 8).

Медиана треугольника свойства формулы длина медианы

Рис.8

      Доказательство. Докажем, что площадь каждого из шести треугольников, на которые медианы разбивают треугольник ABC, равна Медиана треугольника свойства формулы длина медианы площади треугольника ABC. Для этого рассмотрим, например, треугольник AOF и опустим из вершины A перпендикуляр AK на прямую BF (рис. 9).

Медиана треугольника свойства формулы длина медианы

Рис.9

      Тогда

Медиана треугольника свойства формулы длина медианы
Медиана треугольника свойства формулы длина медианы

      В силу утверждения 1,

Медиана треугольника свойства формулы длина медианы
Медиана треугольника свойства формулы длина медианы
Медиана треугольника свойства формулы длина медианы

что и требовалось доказать.

      Утверждение 4. Длина медианы треугольника (рис. 10) вычисляется по формуле:

Медиана треугольника свойства формулы длина медианы

Медиана треугольника свойства формулы длина медианы

Рис.10

      Доказательство. Воспользуемся теоремой косинусов, примененной к треугольникам DBC и ABD:

Медиана треугольника свойства формулы длина медианы
Медиана треугольника свойства формулы длина медианы

      Складывая эти равенства, получим:

Медиана треугольника свойства формулы длина медианы
Медиана треугольника свойства формулы длина медианы

что и требовалось доказать.

      Следствие. Длины медиан и длины сторон треугольника связаны формулой

Медиана треугольника свойства формулы длина медианы

      Доказательство. В силу утверждения 4 справедливы равенства:

Медиана треугольника свойства формулы длина медианы

      Складывая эти равенства, получим:

Медиана треугольника свойства формулы длина медианы
Медиана треугольника свойства формулы длина медианы

что и требовалось доказать.

      Утверждение 5. В параллелограммепараллелограмме сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов сторон.

      Доказательство. Рассмотрим рисунок 11.

Медиана треугольника свойства формулы длина медианы

Рис.11

      Поскольку AO – медиана треугольника ABD, а DO – медиана треугольника ADC, то, в силу утверждения 4, справедливы равенства:

Медиана треугольника свойства формулы длина медианы

      Следовательно,

d12 = 2a2 + 2b2d22,

d22 = 2a2 + 2b2d12.

      Складывая эти равенства, получим

Медиана треугольника свойства формулы длина медианы
Медиана треугольника свойства формулы длина медианы
Медиана треугольника свойства формулы длина медианы

что и требовалось доказать.

      Утверждение 6. Медиана, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна половине гипотенузы (рис. 12).

Медиана треугольника свойства формулы длина медианы

Рис.12

      Доказательство. Продолжим медиану CO за точку O до точки D так, чтобы было выполнено равенство CO = OD, и соединим полученную точку D с точками A и B (рис. 13).

Медиана треугольника свойства формулы длина медианы

Рис.13

      Получим четырехугольник ADBC, диагонали которого в точке пересечения делятся пополам. В силу признака параллелограммапризнака параллелограммапризнака параллелограмма заключаем, что четырехугольник ADBC является параллелограммом, а поскольку полученный параллелограмм содержит прямой угол C, то и все его углы прямые, следовательно, четырехугольник ADBCпрямоугольникпрямоугольник. Поскольку диагонали прямоугольника равны, получаем равенства:

Медиана треугольника свойства формулы длина медианы
Медиана треугольника свойства формулы длина медианы

что и требовалось доказать.

      Следствие. Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной около треугольника окружности (рис. 14).

Медиана треугольника свойства формулы длина медианы

Рис.14

      Утверждение 7. Рассмотрим в пространстве или на плоскости декартову систему координат с началом в точке O и произвольный треугольник ABC. Если обозначить буквой M точку пересечения медиан этого треугольника (рис.15), то будет справедливо равенство

Медиана треугольника свойства формулы длина медианы

Медиана треугольника свойства формулы длина медианы
Медиана треугольника свойства формулы длина медианы

Рис.15

      Доказательство. По свойствам векторов

Медиана треугольника свойства формулы длина медианы
Медиана треугольника свойства формулы длина медианы

      Далее получаем

Медиана треугольника свойства формулы длина медианы
Медиана треугольника свойства формулы длина медианы

что и требовалось доказать.

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре Резольвента

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

До ЕГЭ по математике осталось
днейчасовминутсекунд







НАШИ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Справочник
по математике
для школьников
Наши учебные пособия
ОФИЦИАЛЬНЫЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Демонстрационные варианты ОГЭ
Демонстрационные варианты ЕГЭ








Готовитесь
к ЕГЭ?

(495) 509-28-10
Учебные материалы для подготовки к ЕГЭУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»




НАШИ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Справочник
по математике
для школьников
НАШИ ПАРТНЕРЫ

Rambler's Top100    Рейтинг@Mail.ru 

Метрика Яндекса
Яндекс.Метрика