Углы, связанные с окружностью

Справочник по математике для школьников геометрия планиметрия вписанные и центральные углыВписанные и центральные углы
Справочник по математике для школьников геометрия планиметрия углы образованные хордами, касательными и секущимиУглы, образованные хордами, касательными и секущими
Справочник по математике для школьников геометрия планиметрия доказательства теорем об углах связанных с окружностьюДоказательства теорем об углах, связанных с окружностью

Вписанные и центральные углы

      Определение 1. Центральным угломназывают угол, вершина которого совпадает с центром окружности, а стороны являются радиусами радиусами (рис. 1).

Вписанные и центральные углы

Рис. 1

      Определение 2. Вписанным углом называют угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны являются хордами хордами (рис. 2).

Вписанные и центральные углы

Рис. 2

      Напомним, что углы можно измерять в градусах и в радианах. Дуги окружности также можно измерять в градусах и в радианах, что вытекает из следующего определения.

      Определение 3. Угловой мерой (угловой величиной) дуги окружности является величина центрального угла, опирающегося на эту дугу.

Теоремы о вписанных и центральных углах

ФигураРисунокТеорема
Вписанный уголВписанные и центральные углы

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Посмотреть доказательство

Вписанный уголВписанные и центральные углыВписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.
Вписанный уголВписанные и центральные углыВписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хорды
Вписанный уголВписанные и центральные углыДва вписанных угла, опирающихся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180°, если их вершины лежат по разные стороны от этой хорды
Вписанный уголВписанные и центральные углыВписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр
Окружность, описанная около прямоугольного треугольникаВписанные и центральные углы

Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной
около этого треугольника окружности.

Посмотреть доказательство

Вписанный угол

Теорема:

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Вписанные и центральные углы

Посмотреть доказательство

Теорема:

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.

Вписанные и центральные углы

Теорема:

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хорды

Вписанные и центральные углы

Теорема:

Два вписанных угла, опирающихся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180°, если их вершины лежат по разные стороны от этой хорды

Вписанные и центральные углы

Теорема:

Вписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр

Вписанные и центральные углы

Окружность, описанная около прямоугольного треугольника

Теорема:

Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной
около этого треугольника окружности.

Вписанные и центральные углы

Посмотреть доказательство

Теоремы об углах, образованных хордами, касательными и секущими

ФигураРисунокТеоремаФормула
Угол, образованный пересекающимися хордамиТеоремы об углах образованных хордами касательными и секущими

Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Посмотреть доказательство

Доказательство теоремы об угле между пересекающимися хордами
Угол, образованный секущими, которые пересекаются вне кругаТеоремы об углах образованных хордами касательными и секущими

Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Посмотреть доказательство

Доказательство теоремы об угле между секущими
Угол, образованный касательной и хордой, проходящей через точку касанияТеоремы об углах образованных хордами касательными и секущими

Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами

Посмотреть доказательство

Доказательство теоремы об угле между касательной и хордой
Угол, образованный касательной и секущейТеоремы об углах образованных хордами  касательными и секущими

Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Посмотреть доказательство

Доказательство теоремы об угле между касательной и секущей
Угол, образованный двумя касательными к окружностиТеоремы об углах образованных хордами  касательными и секущими

Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Посмотреть доказательство

Доказательство теоремы об угле между двумя касательными
Угол, образованный пересекающимися хордами хордами
Теоремы об углах образованных хордами касательными и секущими
Формула: Доказательство теоремы об угле между пересекающимися хордами

Теорема

Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Посмотреть доказательство

Угол, образованный секущими секущими, которые пересекаются вне круга
Теоремы об углах образованных хордами касательными и секущими
Теоремы об углах образованных хордами касательными и секущими
Формула: Доказательство теоремы об угле между секущими

Теорема

Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Посмотреть доказательство

Угол, образованный касательной и хордой хордой, проходящей через точку касания
Теоремы об углах образованных хордами касательными и секущими
Формула: Доказательство теоремы об угле между касательной и хордой

Теорема

Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами

Посмотреть доказательство

Угол, образованный касательной и секущей касательной и секущей
Теоремы об углах образованных хордами  касательными и секущими
Теоремы об углах образованных хордами  касательными и секущими
Формула: Доказательство теоремы об угле между касательной и секущей

Теорема

Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Посмотреть доказательство

Угол, образованный двумя касательными касательными к окружности
Теоремы об углах образованных хордами  касательными и секущими
Теоремы об углах образованных хордами  касательными и секущими
Формулы: Доказательство теоремы об угле между двумя касательными

Теорема

Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Посмотреть доказательство

Доказательства теорем об углах, связанных с окружностью

      Теорема 1. Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

      Доказательство. Рассмотрим сначала вписанный угол ABC, сторона BC которого является диаметром окружности диаметром окружности, и центральный угол AOC (рис. 5).

Теоремы об углах образованных хордами касательными и секущими

Рис. 5

      Так как отрезки AO и BO являются радиусами окружности радиусами окружности, то треугольник AOB – равнобедренный, и угол ABO равен углу OAB. Поскольку угол AOC является внешним углом треугольника AOB, то справедливы равенства

Доказательство теоремы о вписанном и центральном углах
Доказательство теоремы о вписанном и центральном углах
Доказательство теоремы о вписанном и центральном углах

      Таким образом, в случае, когда одна из сторон вписанного угла проходит через центр окружности, теорема 1 доказана.

      Теперь рассмотрим случай, когда центр окружности лежит внутри вписанного угла (рис. 6).

Теоремы об углах образованных хордами  касательными и секущими

Рис. 6

      В этом случае справедливы равенства

Доказательство теоремы о вписанном и центральном углах
Доказательство теоремы о вписанном и центральном углах
Доказательство теоремы о вписанном и центральном углах

и теорема 1 в этом случае доказана.

      Осталось рассмотреть случай, когда центр окружности лежит вне вписанного угла (рис. 7).

Теоремы об углах образованных хордами  касательными и секущими

Рис. 7

      В этом случае справедливы равенства

Доказательство теоремы о вписанном и центральном углах
Доказательство теоремы о вписанном и центральном углах
Доказательство теоремы о вписанном и центральном углах

что и завершает доказательство теоремы 1.

      Теорема 2. Величина угла, образованного пересекающимися хордами хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

      Доказательство. Рассмотрим рисунок 8.

Теоремы об углах образованных хордами касательными и секущими

Рис. 8

      Нас интересует величина угла AED, образованного пересекающимися в точке E хордами AB и CD. Поскольку угол AED внешний угол треугольника BED, а углы CDB и ABD являются вписанными углами, то справедливы равенства

Доказательство теоремы об угле между пересекающимися хордами
Доказательство теоремы об угле между пересекающимися хордами

что и требовалось доказать.

      Теорема 3. Величина угла, образованного секущими секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.

      Доказательство. Рассмотрим рисунок 9.

Теоремы об углах образованных хордами  касательными и секущими
Теоремы об углах образованных хордами  касательными и секущими

Рис. 9

      Нас интересует величина угла BED, образованного пересекающимися в точке E секущими AB и CD. Поскольку угол ADC – внешний угол треугольника ADE, а углы ADC , DCB и DAB являются вписанными углами, то справедливы равенства

Доказательство теоремы об угле между секущими
Доказательство теоремы об угле между секущими

что и требовалось доказать.

      Теорема 4. Величина угла, образованного касательной и хордой касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами.

      Доказательство. Рассмотрим рисунок 10.

Теоремы об углах образованных хордами  касательными и секущими
Теоремы об углах образованных хордами  касательными и секущими

Рис. 10

      Нас интересует величина угла BAC , образованного касательной AB и хордой AC . Поскольку AD диаметр диаметр, проходящий через точку касания, а угол ACDвписанный угол, опирающийся на диаметр, то углы DAB и DCA – прямые. Поэтому справедливы равенства

Доказательство теоремы об угле между касательной и хордой
Доказательство теоремы об угле между касательной и хордой

что и требовалось доказать

      Теорема 5. Величина угла, образованного касательной и секущей касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.

      Доказательство. Рассмотрим рисунок 11.

Теоремы об углах образованных хордами касательными и секущими
Теоремы об углах образованных хордами касательными и секущими

Рис. 11

      Нас интересует величина угла BED, образованного касательной AB и секущей CD. Заметим, что угол BDC внешний угол треугольника DBE, а углы BDC и BCD являются вписанными углами. Кроме того, углы DBE и DCB, в силу теоремы 4, равны. Поэтому справедливы равенства

Доказательство теоремы об угле между касательной и секущей
Доказательство теоремы об угле между касательной и секущей

что и требовалось доказать.

      Теорема 6.Величина угла, образованного двумя касательными к окружности касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами.

      Доказательство. Рассмотрим рисунок 12.

Теоремы об углах образованных хордами касательными и секущими
Теоремы об углах образованных хордами касательными и секущими

Рис. 12

      Нас интересует величина угла BED, образованного касательными AB и CD. Заметим, что углы BOD и BED в сумме составляют   π радиан. Поэтому справедливо равенство

α = π – γ .

      Далее получаем

Доказательство теоремы об угле между двумя касательными
Доказательство теоремы об угле между двумя касательными
Доказательство теоремы об угле между двумя касательными
Доказательство теоремы об угле между двумя касательными

что и требовалось доказать.

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре Резольвента

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

До ЕГЭ по математике осталось
днейчасовминутсекунд

НАШИ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Справочник
по математике
для школьников
Наши учебные пособия
ОФИЦИАЛЬНЫЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Демонстрационные варианты ОГЭ
Демонстрационные варианты ЕГЭ








Готовитесь
к ЕГЭ?

(495) 509-28-10
Учебные материалы для подготовки к ЕГЭУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»




НАШИ ПАРТНЕРЫ

Rambler's Top100    Рейтинг@Mail.ru 

Метрика Яндекса
Яндекс.Метрика