![]() |
![]() |
![]() |
Определение 1. Центральным угломназывают угол, вершина которого совпадает с центром окружности, а стороны являются радиусами радиусами (рис. 1).
Рис. 1
Определение 2. Вписанным углом называют угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны являются хордами хордами (рис. 2).
Рис. 2
Напомним, что углы можно измерять в градусах и в радианах. Дуги окружности также можно измерять в градусах и в радианах, что вытекает из следующего определения.
Определение 3. Угловой мерой (угловой величиной) дуги окружности является величина центрального угла, опирающегося на эту дугу.
Фигура | Рисунок | Теорема |
Вписанный угол | ![]() | Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу. |
Вписанный угол | ![]() | Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны. |
Вписанный угол | ![]() | Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хорды |
Вписанный угол | ![]() | Два вписанных угла, опирающихся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180°, если их вершины лежат по разные стороны от этой хорды |
Вписанный угол | ![]() | Вписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр |
Окружность, описанная около прямоугольного треугольника | ![]() | Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной |
Вписанный угол |
Теорема: Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу. |
Теорема: Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны. |
Теорема: Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хорды |
Теорема: Два вписанных угла, опирающихся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180°, если их вершины лежат по разные стороны от этой хорды |
Вписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр |
Окружность, описанная около прямоугольного треугольника |
Теорема: Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной |
Фигура | Рисунок | Теорема | Формула |
Угол, образованный пересекающимися хордами | ![]() | Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами. | ![]() |
Угол, образованный секущими, которые пересекаются вне круга | ![]() | Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами | ![]() |
Угол, образованный касательной и хордой, проходящей через точку касания | ![]() | Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами | ![]() |
Угол, образованный касательной и секущей | ![]() | Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами | ![]() |
Угол, образованный двумя касательными к окружности | ![]() | Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами | ![]() |
Угол, образованный пересекающимися хордами хордами |
![]() |
Формула: ![]() |
Теорема Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами. |
Угол, образованный секущими секущими, которые пересекаются вне круга |
![]() ![]() |
Формула: ![]() |
Теорема Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами |
Угол, образованный касательной и хордой хордой, проходящей через точку касания |
![]() |
Формула: ![]() |
Теорема Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами |
Угол, образованный касательной и секущей касательной и секущей |
![]() ![]() |
Формула: ![]() |
Теорема Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами |
Угол, образованный двумя касательными касательными к окружности |
![]() ![]() |
Формулы: ![]() |
Теорема Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами |
Теорема 1. Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.
Доказательство. Рассмотрим сначала вписанный угол ABC, сторона BC которого является диаметром окружности диаметром окружности, и центральный угол AOC (рис. 5).
Рис. 5
Так как отрезки AO и BO являются радиусами окружности радиусами окружности, то треугольник AOB – равнобедренный, и угол ABO равен углу OAB. Поскольку угол AOC является внешним углом треугольника AOB, то справедливы равенства
Таким образом, в случае, когда одна из сторон вписанного угла проходит через центр окружности, теорема 1 доказана.
Теперь рассмотрим случай, когда центр окружности лежит внутри вписанного угла (рис. 6).
Рис. 6
В этом случае справедливы равенства
и теорема 1 в этом случае доказана.
Осталось рассмотреть случай, когда центр окружности лежит вне вписанного угла (рис. 7).
Рис. 7
В этом случае справедливы равенства
что и завершает доказательство теоремы 1.
Теорема 2. Величина угла, образованного пересекающимися хордами хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.
Доказательство. Рассмотрим рисунок 8.
Рис. 8
Нас интересует величина угла AED, образованного пересекающимися в точке E хордами AB и CD. Поскольку угол AED – внешний угол треугольника BED, а углы CDB и ABD являются вписанными углами, то справедливы равенства
что и требовалось доказать.
Теорема 3. Величина угла, образованного секущими секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.
Доказательство. Рассмотрим рисунок 9.
Рис. 9
Нас интересует величина угла BED, образованного пересекающимися в точке E секущими AB и CD. Поскольку угол ADC – внешний угол треугольника ADE, а углы ADC , DCB и DAB являются вписанными углами, то справедливы равенства
что и требовалось доказать.
Теорема 4. Величина угла, образованного касательной и хордой касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами.
Доказательство. Рассмотрим рисунок 10.
Рис. 10
Нас интересует величина угла BAC , образованного касательной AB и хордой AC . Поскольку AD – диаметр диаметр, проходящий через точку касания, а угол ACD – вписанный угол, опирающийся на диаметр, то углы DAB и DCA – прямые. Поэтому справедливы равенства
что и требовалось доказать
Теорема 5. Величина угла, образованного касательной и секущей касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.
Доказательство. Рассмотрим рисунок 11.
Рис. 11
Нас интересует величина угла BED, образованного касательной AB и секущей CD. Заметим, что угол BDC – внешний угол треугольника DBE, а углы BDC и BCD являются вписанными углами. Кроме того, углы DBE и DCB, в силу теоремы 4, равны. Поэтому справедливы равенства
что и требовалось доказать.
Теорема 6.Величина угла, образованного двумя касательными к окружности касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами.
Доказательство. Рассмотрим рисунок 12.
Рис. 12
Нас интересует величина угла BED, образованного касательными AB и CD. Заметим, что углы BOD и BED в сумме составляют π радиан. Поэтому справедливо равенство
α = π – γ .
Далее получаем
что и требовалось доказать.
На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.
До ЕГЭ по математике осталось | |||
дней | часов | минут | секунд |