Секущая графика функции. Касательная к графику функции. Производная функции. Геометрический смысл производной

секущая графика функции уравнение секущейСекущая графика функции. Уравнение секущей графика функции
Касательная к графику функцииКасательная к графику функции
Производная функцииПроизводная функции
Уравнение касательной к графику функцииУравнение касательной к графику функции
Геометрический смысл производнойГеометрический смысл производной
секущая графика функции уравнение секущей касательная к графику функции уравнение касательной производная функции геометрический смысл производной тангенс угла наклона касательной

Секущая графика функции. Уравнение секущей графика функции

      Рассмотрим график некоторой функции   y = f (x),   точки   A= (x0;  f (x0))   и   B = (x1;  f (x1))   на графике, прямую, проходящую через точки   A   и   B,   и произвольную точку   C = (x; y)   на этой прямой (рис. 1).

секущая графика функции уравнение секущей
секущая графика функции уравнение секущей
секущая графика функции уравнение секущей

Рис.1

      Определение 1. Прямую, проходящую через две произвольные точки графика функции, называют секущей графика функции.

      В соответствии с определением 1 прямая, проходящая через точки   A   и   B   графика функции   y = f (x),   является секущей этого графика.

      Выведем уравнение секущей графика функции.

      Для этого рассмотрим векторы секущая графика функции уравнение секущей и секущая графика функции уравнение секущей, координаты которых имеют вид:

секущая графика функции уравнение секущей

      Поскольку векторы секущая графика функции уравнение секущей и секущая графика функции уравнение секущей лежат на одной прямой, то справедливо равенство

секущая графика функции уравнение секущей(1)

где   k   – некоторое число.

      Переписывая равенство (1) в координатах, получим систему (2):

секущая графика функции уравнение секущей
секущая графика функции уравнение секущей
(2)

      Исключая из системы (2) переменную   k ,  получим систему (3):

секущая графика функции уравнение секущей
секущая графика функции уравнение секущей
(3)

второе уравнение которой можно записать в следующем виде

секущая графика функции уравнение секущей
секущая графика функции уравнение секущей
(4)

      Уравнение (4) и является уравнением секущей графика функции   y = f (x),   проходящей через точки   A = (x0;  (x0))   и   B = (x1;  f (x1))   этого графика.

Касательная к графику функции

      Проведем секущую графика функции   y = f (x),   проходящую через точки   A   и   B   этого графика, и рассмотрим случай, когда точка   A   неподвижна, а точка   B   неограниченно приближается к точке   A   по графику функции   y = f (x)   (рис. 2).

Касательная к графику функции
Касательная к графику функции
Касательная к графику функции

Рис.2

      Неограниченное приближение точки   B   к точке   A   принято обозначать

BA

и произносить   «B   стремится к   A».

      Заметим, что, если   B → A   для точек   A = (x0;  f (x0))   и   B = (x1;  f (x1))  графика функции  y = f (x),   то это означает, что   x1 → x0 .

      Определение 2. Если при   x1 → x0   существует предельное положение секущей графика фукнкции   y = f (x),   то это предельное положение секущей называют касательной к графику функции   y = f (x)   в точке   A = (x0;  f (x0))  (рис. 3) .

Касательная к графику функции
Касательная к графику функции
Касательная к графику функции

Рис.3

Производная функции

      Определение 3. Если при   x1 → x0   отношение

Производная функции(5)

входящее в формулу (4), стремится к некоторому числу, то это число называют производной функции   y = f (x) в точке   x0 ,   обозначают   f ′(x0)   или Производная функциии записывают так:

Производная функции(6)

Уравнение касательной к графику функции

      Из формул (4) и (6) вытекает следующее

      Утверждение. Если у функции   y = f (x)   существует производная в точке   x0 ,   то к графику функции   y = f (x)   в точке с координатами  (x0;  f (x0))   можно провести касательную, а уравнение этой касательной имеет вид:

y = f′(x0) (x – x0) + f (x0)(7)

Геометрический смысл производной

      Рассмотрим сначала возрастающую функцию   y = f (x)   и проведем секущую графика этой функции, проходящую через точки   A = (x0;  f (x0))   и   B = (x1;  f (x1)) (рис. 4).

Геометрический смысл производной
Геометрический смысл производной
Геометрический смысл производной

Рис.4

      Обозначим буквой   φ   угол, образованный секущей и положительным направлением оси   Ox,   отсчитываемый против часовой стрелки. Тогда угол   BAD   в треугольнике   ABD   на рисунке 4 равен   φ ,   и по определению тангенса угла получаем равенство

Геометрический смысл производной(8)

причем по определению углового коэффициента прямой   tg φ   является угловым коэффициентом секущей графика функции   y = f (x),   проходящей через точки   A = (x0;  f (x0))   и   B = (x1;  f (x1))   этого графика.

      Случай, когда функция   y = f (x)   убывает, изображен на рисунке 5

Геометрический смысл производной
Геометрический смысл производной
Геометрический смысл производной

Рис.5

      В этом случае угол   φ  является тупым, причем

Геометрический смысл производной
Геометрический смысл производной

то есть формула (8) справедлива и для случая, когда функция   y = f (x)   убывает.

      Отсюда в соответствии с определением производной функции вытекает соотношение:

Геометрический смысл производной
Геометрический смысл производной

где буквой   α   обозначен угол, образованный касательной к графику функции   y = f (x)   в точке   A = (x0;  f (x0))   с положительным направлением оси   Ox   (рис. 6).

Геометрический смысл производной
Геометрический смысл производной
Геометрический смысл производной

Рис.6

      Таким образом, если у функции   y = f (x)   в точке   x0   существует производная, то эта производная равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции   y = f (x)   в точке   (x0;  f (x0)) :

f′(x0) = tg α ,

где угол наклона   α   образован касательной и положительным направлением оси   Ox   и отсчитывается в положительном направлении (то есть против часовой стрелки).

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре Резольвента

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.

До ЕГЭ по математике осталось
днейчасовминутсекунд

НАШИ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Справочник
по математике
для школьников
Наши учебные пособия
ОФИЦИАЛЬНЫЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Демонстрационные варианты ЕГЭ









Готовитесь
к ЕГЭ?

(495) 509-28-10
Учебные материалы для подготовки к ЕГЭУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»



НАШИ ПАРТНЕРЫ

Rambler's Top100    Рейтинг@Mail.ru 

Метрика Яндекса
Яндекс.Метрика