Приращение аргумента и приращение функции. Производная как предел отношения приращений. Непрерывность функции

приращение аргумента приращение функции производная функции примерыПриращение аргумента и приращение функции. Производная как предел отношения приращений
Непрерывность функции примерыНепрерывность функции
приращение аргумента приращение функции производная функции непрерывность функции примеры

Приращение аргумента и приращение функции. Производная как предел отношения приращений

      В разделе «Секущая графика функции. Касательная к графику функции. Производная функции. Геометрический смысл производной» нашего справочника приведено определение производной функции   y = f (x)   в точке   x0   (в том случае, если она существует) как числа, к которому стремится отношение

приращение аргумента приращение функции производная функции примеры(1)

при   x1 → x0 .   Коротко это принято записывать так:

приращение аргумента приращение функции производная функции примеры(2)

      Заметим, что существование производной функции   y = f (x)   и значение производной зависят от выбора точки   x0 . Поэтому производная функции сама является функцией точки   x0 .

      Если в формуле (2) заменить  x0   на   x ,   а разность  x1 – x0   обозначить символом  Δx,   то эта формула примет вид

приращение аргумента приращение функции производная функции примеры
приращение аргумента приращение функции производная функции примеры
(3)

      Определение 1. Переменную   Δx   называют приращением аргумента,  а разность

f (x + Δx) – f (x)

называют приращением функции   f (x) в точке   x ,   соответствующим приращению аргумента   Δx,   и обозначают  Δf .

      Таким образом,

Δf = f (x + Δx) – f (x)(4)

      Используя определения приращения аргумента и приращения функции, формулу (3) можно переписать так:

приращение аргумента приращение функции производная функции примеры(5)

      В соответствии с этой формулой производную функции    f (x)   в точке   x   называют пределом отношения приращения функции к приращению аргумента в точке   x ,   когда приращение аргумента стремится к нулю.

      Пример 1. Вывести формулу для производной функции   y = x 2 .

      Решение. Из формулы (3) получаем:

приращение аргумента приращение функции производная функции примеры
приращение аргумента приращение функции производная функции примеры
приращение аргумента приращение функции производная функции примеры

      Ответ. приращение аргумента приращение функции производная функции примеры

Непрерывность функции

      Определение 2. Функцию   y = f (x)   называют непрерывной в точке   x0 ,   если выполнено равенство

Непрерывность функции примеры(6)

      Другими словами, функция   (x)   непрерывна в точке   x0   тогда и только тогда, когда выполнено равенство

Непрерывность функции примеры(7)

      Пример 2. Доказать, что функция   y = x3   непрерывна в любой точке   x ,   где Непрерывность функции примеры.

      Решение. Выберем произвольную точку   x,   где Непрерывность функции примеры, и воспользуемся формулой сокращенного умножения «куб суммы»:

Непрерывность функции примеры
Непрерывность функции примеры

      Соотношение (7) выполнено, что и завершает решение примера 2.

      Пример 3. Доказать, что функция

Непрерывность функции примеры(8)

разрывна (не является непрерывной) в точке   x = 0 .

      Решение. Поскольку в точке   x = 0

Непрерывность функции примеры
Непрерывность функции примеры

причем

Непрерывность функции примеры

то соотношение (7) в точке   x = 0   не выполняется. Таким образом, функция (8) является разрывной в точке   x = 0 .

      Доказано.

      Для наглядности приведем график функции (8) (рис. 1).

Непрерывность функции примеры
Непрерывность функции примеры

Рис.1

      Замечание. Если в точке   x = x0   у функции    f (x)   существует производная, то функция    f (x)   непрерывна в точке  x0 .

      Обратное утверждение, вообще говоря, неверно: если функция    f (x)   непрерывна в точке   x0 ,   то отсюда вовсе не следует, что в этой точке у функции должна существовать производная. Примером является функция    f (x) = |x|   (модуль   x), которая непрерывна в точке   x = 0 ,   но у нее не существует производной в этой точке.

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре Резольвента

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.

До ЕГЭ по математике осталось
днейчасовминутсекунд









Готовитесь
к ЕГЭ?

(495) 509-28-10
Учебные материалы для подготовки к ЕГЭУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


НАШИ ПАРТНЕРЫ

Rambler's Top100    Рейтинг@Mail.ru 

Метрика Яндекса
Яндекс.Метрика