![]() |
![]() |
В разделе «Секущая графика функции. Касательная к графику функции. Производная функции. Геометрический смысл производной» нашего справочника приведено определение производной функции y = f (x) в точке x0 (в том случае, если она существует) как числа, к которому стремится отношение
![]() | (1) |
при x1 → x0 . Коротко это принято записывать так:
![]() | (2) |
Заметим, что существование производной функции y = f (x) и значение производной зависят от выбора точки x0 . Поэтому производная функции сама является функцией точки x0 .
Если в формуле (2) заменить x0 на x , а разность x1 – x0 обозначить символом Δx, то эта формула примет вид
![]() ![]() | (3) |
Определение 1. Переменную Δx называют приращением аргумента, а разность
f (x + Δx) – f (x)
называют приращением функции f (x) в точке x , соответствующим приращению аргумента Δx, и обозначают Δf .
Таким образом,
Δf = f (x + Δx) – f (x) | (4) |
Используя определения приращения аргумента и приращения функции, формулу (3) можно переписать так:
![]() | (5) |
В соответствии с этой формулой производную функции f (x) в точке x называют пределом отношения приращения функции к приращению аргумента в точке x , когда приращение аргумента стремится к нулю.
Пример 1. Вывести формулу для производной функции y = x 2 .
Решение. Из формулы (3) получаем:
Ответ.
Определение 2. Функцию y = f (x) называют непрерывной в точке x0 , если выполнено равенство
![]() | (6) |
Другими словами, функция f (x) непрерывна в точке x0 тогда и только тогда, когда выполнено равенство
![]() | (7) |
Пример 2. Доказать, что функция y = x3 непрерывна в любой точке x , где .
Решение. Выберем произвольную точку x, где , и воспользуемся формулой сокращенного умножения «куб суммы»:
Соотношение (7) выполнено, что и завершает решение примера 2.
Пример 3. Доказать, что функция
![]() | (8) |
разрывна (не является непрерывной) в точке x = 0 .
Решение. Поскольку в точке x = 0
причем
то соотношение (7) в точке x = 0 не выполняется. Таким образом, функция (8) является разрывной в точке x = 0 .
Доказано.
Для наглядности приведем график функции (8) (рис. 1).
Рис.1
Замечание. Если в точке x = x0 у функции f (x) существует производная, то функция f (x) непрерывна в точке x0 .
Обратное утверждение, вообще говоря, неверно: если функция f (x) непрерывна в точке x0 , то отсюда вовсе не следует, что в этой точке у функции должна существовать производная. Примером является функция f (x) = |x| (модуль x), которая непрерывна в точке x = 0 , но у нее не существует производной в этой точке.
На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.
До ЕГЭ по математике осталось | |||
дней | часов | минут | секунд |
| ||||||
|