![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
Во многих разделах нашего справочника приведены графики различных функций. Для многих функций существуют прямые, к которым графики функций неограниченно приближаются. Такие прямые называют асимптотами, и их точное определение мы дадим чуть позже. Как мы увидим далее, асимптоты бывают вертикальными, горизонтальными и наклонными. С вертикальными и горизонтальными асимптотами графика функции мы уже встречались, в частности, в разделе «Гипербола на координатной плоскости. График дробно-линейной функции». С наклонными асимптотами, за исключением горизонтальных, мы пока еще дела не имели.
Определение 1. Говорят, что x стремится к x0 слева и обозначают
x → x0 – 0 ,
если x стремится к x0 и x меньше x0 .
Говорят, что x стремится к x0 справа и обозначают
x → x0 + 0 ,
если x стремится к x0 и x больше x0 .
x = c
называют вертикальной асимптотой графика функции y = f (x) при x , стремящемся к с справа, если функция y = f (x) определена на некотором интервале (с, d) и выполнено соотношение выполнено соотношение
при x → c + 0
Прямую
x = с
называют вертикальной асимптотой графика функции y = f (x) при x , стремящемся к с слева, если функция y = f (x) определена на некотором интервале (d, c) и выполнено соотношение выполнено соотношение
при x → c – 0
Пример 1. Прямая
x = 2
является вертикальной асимптотой графика функции
как справа, так и слева (рис. 1)
Рис.1
Пример 2. Прямая
x = 0
является вертикальной асимптотой графика функции
y = ln x
при x , стремящемся к 0 справа (рис. 2)
Рис.2
Определение 3. Прямую
y = kx + b
называют наклонной асимптотой графика функции y = f (x) при x , стремящемся к , если функция y = f (x) определена на некотором интервале
и выполнено соотношение выполнено соотношение
Прямую
y = kx + b
называют наклонной асимптотой графика функции y = f (x) при x , стремящемся к , если функция y = f (x) определена на некотором интервале
и выполнено соотношение выполнено соотношение
Определение 4. Прямую
y = b
называют горизотальной асимптотой графика функции y = f (x) при x , стремящемся к , если функция y = f (x) определена на некотором интервале
и выполнено соотношение выполнено соотношение
Прямую
y = b
называют горизотальной асимптотой графика функции y f (x) при x , стремящемся к , если функция y = f (x) определена на некотором интервале
и выполнено соотношение выполнено соотношение
Замечание. Из определений 3 и 5 вытекает, что горизонтальная асимптота является частным случаем наклонной асимптоты y = kx + b, когда угловой коэффициент прямой k = 0 .
Пример 3. Прямая
y = 3
является горизонтальной асимптотой графика функции
как при x , стремящемся к , так и при x , стремящемся к
(рис. 3)
Рис.3
Пример 4. Прямая
y = 0
является горизонтальной асимптотой графика функции
y = 2x
при x , стремящемся к (рис. 4)
Рис.4
Пример 5. График функции y = arctg x (рис.5)
Рис.5
имеет две горизонтальные асимптоты: прямая
является горизонтальной асимптотой графика функции при , а прямая
является горизонтальной асимптотой графика функции при .
Для того, чтобы найти наклонную асимптоту графика функции y = f (x) при (или убедиться, что наклонной асимптоты при
не существует), нужно совершить 2 операции.
Первая операция. Вычислим предел предел
![]() | (1) |
Если предел (1) не существует или существует, но равен существует, но равен, то делаем вывод о том, что у графика функции y = f (x) при
наклонных асимптот нет.
Если предел (1) существует и равен некоторому числу предел (1) существует и равен некоторому числу, то, обозначив это число буквой k ,
переходим ко второй операции.
Вторая операция. Вычислим предел предел
![]() | (2) |
Если предел (2) не существует или существует, но равен существует, но равен, то делаем вывод о том, что у графика функции y = f (x) при
наклонных асимптот нет.
Если предел (2) существует и равен некоторому числу предел (2) существует и равен некоторому числу, то, обозначив это число буквой b ,
делаем вывод о том, что прямая
y = kx + b
является наклонной асимптотой графика функции y = f (x) при .
Совершенно аналогично поступаем для того, чтобы найти наклонную асимптоту графика функции y = f (x) при (или убедиться, что наклонной асимптоты при
не существует).
Первая операция. Вычислим предел предел
![]() | (3) |
Если предел (3) не существует или существует, но равен существует, но равен, то делаем вывод о том, что у графика функции y = f (x) при
наклонных асимптот нет.
Если предел (3) существует и равен некоторому числу предел (3) существует и равен некоторому числу, то, обозначив это число буквой k ,
переходим ко второй операции.
Вторая операция. Вычислим предел предел
![]() | (4) |
Если предел (4) не существует или существует, но равен существует, но равен, то делаем вывод о том, что у графика функции y = f (x) при
наклонных асимптот нет.
Если предел (4) существует и равен некоторому числу предел (4) существует и равен некоторому числу, то, обозначив это число буквой b ,
делаем вывод о том, что прямая
y = kx + b
является наклонной асимптотой графика функции y = f (x) при .
Пример 5. Найти асимптоты графика функции
![]() | (5) |
и построить график этой функции.
Решение. Функция (5) определена для всех и вертикальных асимптот не имеет.
Найдем наклонные асимптоты графика функции (5). При получаем
Отсюда вытекает, что прямая
y = x
– наклонная асимптота графика функции (5) при .
При получаем
Отсюда вытекает, что прямая
y = – x
– наклонная асимптота графика функции (5) при .
Функция (5) является четной функцией, поэтому ее график симметричен относительно оси ординат.
Найдем производную функции (5):
Итак, y' > 0 при x > 0 , y' < 0 при x < 0 , y' = 0 при x = 0 . Точка x = 0 – стационарная, причем производная функции (5) при переходе через точку x = 0 меняет знак с «–» на «+» . Следовательно, x = 0 – точка минимума функции (5). Других критических точек у функции (5) нет.
Теперь мы уже можем построить график функции (5):
Рис.6
Заметим, что график функции (5) находится выше асимптот y = x и y =v– x , поскольку справедливо неравенство:
.
На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.
До ЕГЭ по математике осталось | |||
дней | часов | минут | секунд |