Mосква, Северо-восток

Деление многочленов на многочлены второй степени.
Метод неопределенных коэффициентов

      Метод неопределенных коэффициентов используется при решении многих задач в различных разделах математики. Рассмотрим, как применяется этот метод, в задачах, связанных с делением многочленов на многочлены второй степени.

      Задача 1. Найти остаток от деления многочлена

3x9 – 8x3+ 4

на квадратный трехчлен

x2 – 3x + 2 .

      Решение. Конечно же, задачу 1 можно было бы решить, разделив «уголком» делимое на делитель, но мы приведем гораздо более короткое и красивое решение, основанное на методе неопределенных коэффициентов. Для этого сначала найдем корни делителя:

Электронный справочник по математике для школьников алгебра деление многочленов метод неопределенных коэффициентов
Электронный справочник по математике для школьников алгебра деление многочленов метод неопределенных коэффициентов

      Таким образом, корнями делителя являются числа   1   и   2 .   Поэтому разложение делителя на линейные множители имеет вид:

x2 – 3x + 2 = (x – 1) (x – 2) .

      Поскольку степень делителя равна   2 ,   то остаток от деления будет многочленом, степень которого не выше первой, и справедливо следующее тождество, верное для всех значений переменной   x :

3x9 – 8x3+ 4 = (x – 1) (x – 2) q(x) + ax + b .

3x9 – 8x3+ 4 =
= (x – 1) (x – 2) q(x) + ax + b .

      В этом тождестве   q(x)   обозначает частное от деления – многочлен 7-ой степени, а выражение

ax + b ,

где   a   и   b   – числа, обозначает остаток от деления – многочлен, степень которого равна 0, если число   a   равно нулю, и равна   1 ,   если число   a   отлично от нуля.

      Числа   a   и   b   и называют неопределенными коэффициентами.

      Если теперь в тождество подставить значения   x = 1   и   x = 2 ,   то мы получим систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными для нахождения неопределенных коэффициентов   a   и   b :

Электронный справочник по математике для школьников алгебра деление многочленов метод неопределенных коэффициентов
Электронный справочник по математике для школьников алгебра деление многочленов метод неопределенных коэффициентов
Электронный справочник по математике для школьников алгебра деление многочленов метод неопределенных коэффициентов
Электронный справочник по математике для школьников алгебра деление многочленов метод неопределенных коэффициентов

      Отсюда вытекает, что искомый остаток от деления является многочленом первой степени и имеет вид:

1477x – 1478 .

      Ответ:  1477x – 1478 .

      Задача 2. Найти остаток от деления многочлена

3x4 – 2x3+ 4x2x – 5

на квадратный трехчлен

(x – 3)2 .

      Решение. Действуя по аналогии с решением задачи 1, рассмотрим тождество

3x4 – 2x3+ 4x2x – 5 =
=
(x – 3)2q(x) + ax + b ,

где   a   и   b   – неопределенные коэффициенты. Если от обеих частей этого тождества взять производную, то мы также получим тождество, которое имеет следующий вид:

Электронный справочник по математике для школьников алгебра деление многочленов метод неопределенных коэффициентов
Электронный справочник по математике для школьников алгебра деление многочленов метод неопределенных коэффициентов
Электронный справочник по математике для школьников алгебра деление многочленов метод неопределенных коэффициентов

      Если теперь в оба тождества подставить значение   x = 3 ,   то мы получим систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными для нахождения неопределенных коэффициентов   a   и   b :

Электронный справочник по математике для школьников алгебра деление многочленов метод неопределенных коэффициентов
Электронный справочник по математике для школьников алгебра деление многочленов метод неопределенных коэффициентов
Электронный справочник по математике для школьников алгебра деление многочленов метод неопределенных коэффициентов

      Ответ:    293x – 662 .

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре Резольвента

      На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

    Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными».

Запись по телефону (495) 509-28-10

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ или ОГЭ по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит

Электронный справочник по математике для школьников алгебра деление многочленов метод неопределенных коэффициентовподготовительные курсы для школьников 8, 9, 10 и 11 классов

      У нас также для школьников организованы

Электронный справочник по математике для школьников алгебра деление многочленов метод неопределенных коэффициентовиндивидуальные занятия с репетиторами по математике и русскому языку

МОСКВА, СВАО, Учебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

До ЕГЭ по математике осталось
днейчасовминутсекунд


Проблемы с
математикой?

ПОМОЖЕМ!

(495) 509-28-10

Подготовка к ОГЭ и к ЕГЭ по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


Сложно с геометрией?

ПРИХОДИТЕ!

(495) 509-28-10

Помощь школьникам 8 9 10 11 классов по геометрииУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

НАШИ УСЛУГИ
Подготовительные курсы к ОГЭ и ЕГЭ
Подготовка к итоговому сочинению
Репетиторы
для школьников

ЕГЭ по математике?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ОГЭ и к ЕГЭ по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»



НАШИ ПАРТНЕРЫ

Rambler's Top100    Рейтинг@Mail.ru 

Метрика Яндекса
Яндекс.Метрика