Линейные уравнения (уравнения первой степени) с двумя неизвестными |
Системы из двух линейных уравнений с двумя неизвестными |
Системы из трех линейных уравнений с тремя неизвестными |
Определение 1. Линейным уравнением (уравнением первой степени) с двумя неизвестными x и y называют уравнение, имеющее вид
ax +by = c , | (1) |
где a , b , c – заданные числа.
Определение 2. Решением уравнения (1) называют пару чисел (x ; y) , для которых формула (1) является верным равенством.
Пример 1. Найти решение уравнения
2x +3y = 10 | (2) |
Решение. Выразим из равенства (2) переменную y через переменную x :
(3) |
Из формулы (3) следует, что решениями уравнения (2) служат все пары чисел вида
где x – любое число.
Замечание. Как видно из решения примера 1, уравнение (2) имеет бесконечно много решений. Однако важно отметить, что не любая пара чисел (x ; y) является решением этого уравнения. Для того, чтобы получить какое-нибудь решение уравнения (2), число x можно взять любым, а число y после этого вычислить по формуле (3).
Определение 3. Системой из двух линейных уравнений с двумя неизвестными x и y называют систему уравнений, имеющую вид
(4) |
где a1 , b1 , c1 , a2 , b2 , c2 – заданные числа.
Определение 4. В системе уравнений (4) числа a1 , b1 , a2 , b2 называют коэффициентами при неизвестных, а числа c1 , c2 – свободными членами.
Определение 5. Решением системы уравнений (4) называют пару чисел (x ; y) , являющуюся решением как одного, так и другого уравнения системы (4).
Определение 6. Две системы уравнений называют равносильными (эквивалентными), если все решения первой системы уравнений являются решениями второй системы, и все решения второй системы являются решениями первой системы.
Равносильность систем уравнений обозначают, используя символ «»
Системы линейных уравнений решают с помощью метода последовательного исключения неизвестных, который мы проиллюстрируем на примерах.
Пример 2 . Решить систему уравнений
(5) |
Решение. Для того, чтобы решить систему (5) исключим из второго уравнения системы неизвестное х.
С этой целью сначала преобразуем систему (5) к виду, в котором коэффициенты при неизвестном x в первом и втором уравнениях системы станут одинаковыми.
Если первое уравнение системы (5) умножить на коэффициент, стоящий при x во втором уравнении (число 7 ), а второе уравнение умножить на коэффициент, стоящий при x в первом уравнении (число 2 ), то система (5) примет вид
(6) |
Теперь совершим над системой (6) следующие преобразования:
В результате система (6) преобразуется в равносильную ей систему
Из второго уравнения находим y = 3 , и, подставив это значение в первое уравнение, получаем
Ответ. (–2 ; 3) .
Пример 3. Найти все значения параметра p , при которых система уравнений
(7) |
а) имеет единственное решение;
б) имеет бесконечно много решений;
в) не имеет решений.
Решение. Выражая x через y из второго уравнения системы (7) и подставляя полученное выражение вместо x в первое уравнение системы (7), получим
Следовательно, система (7) равносильна системе
(8) |
Исследуем решения системы (8) в зависимости от значений параметра p . Для этого сначала рассмотрим первое уравнение системы (8):
y (2 – p) (2 + p) = 2 + p | (9) |
Если , то уравнение (9) имеет единственное решение
Следовательно, система (8) равносильна системе
Таким образом, в случае, когда , система (7) имеет единственное решение
Если p = – 2 , то уравнение (9) принимает вид
,
и его решением является любое число . Поэтому решением системы (7) служит бесконечное множество всех пар чисел
,
где y – любое число.
Если p = 2 , то уравнение (9) принимает вид
и решений не имеет, откуда вытекает, что и система (7) решений не имеет.
Определение 7. Системой из трех линейных уравнений с тремя неизвестными x , y и z называют систему уравнений, имеющую вид
(10) |
где a1 , b1 , c1 , d1 , a2 , b2 , c2 , d2 , a3 , b3 , c3 , d3 – заданные числа.
Определение 8. В системе уравнений (10) числа a1 , b1 , c1 , a2 , b2 , c2 , a3 , b3 , c3 называют коэффициентами при неизвестных, а числа d1 , d2 , d3 – свободными членами.
Определение 9. Решением системы уравнений (10) называют тройку чисел (x ; y ; z) , при подстановке которых в каждое из трех уравнений системы (10) получается верное равенство.
Пример 4 . Решить систему уравнений
(11) |
Решение. Будем решать систему (11) при помощи метода последовательного исключения неизвестных.
Для этого сначала исключим из второго и третьего уравнений системы неизвестное y , совершив над системой (11) следующие преобразования:
В результате система (11) преобразуется в равносильную ей систему
(12) |
Теперь исключим из третьего уравнения системы неизвестное x , совершив над системой (12) следующие преобразования:
В результате система (12) преобразуется в равносильную ей систему
(13) |
Из системы (13) последовательно находим
z = – 2 ; x = 1 ; y = 2 .
Ответ. (1 ; 2 ; –2) .
Пример 5. Решить систему уравнений
(14) |
Решение. Заметим, что из данной системы можно получить удобное следствие, сложив все три уравнения системы:
(15) |
Если числа (x ; y ; z) являются решением системы (14), то они должны удовлетворять и уравнению (15). Однако в таком случае числа (x ; y ; z) должны также быть решением системы, которая получается, если из каждого уравнения системы (14) вычесть уравнение (15):
Поскольку мы использовали следствие из системы (14), не задумываясь о том, являются ли сделанные преобразования системы (14) равносильными, то полученный результат нужно проверить. Подставив тройку чисел (3 ; 0 ; –1) в исходную систему (14), убеждаемся, что числа (3 ; 0 ; –1) действительно являются ее решением.
Ответ: (3 ; 0 ; –1) .
Замечание. Рекомендуем посетителю нашего сайта, интересующемуся методами решения систем уравнений, ознакомиться также c разделом справочника «Системы с нелинейными уравнениями» и нашим учебным пособием «Системы уравнений».
На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.
До ЕГЭ по математике осталось | |||
дней | часов | минут | секунд |