Mосква, Северо-восток

Неравенства между средними значениями

Справочник по математике для школьников алгебра Неравенства между средними значениямиНеравенства между средними значениями
Справочник по математике для школьников алгебра неравенство Коши о среднем арифметическом и среднем геометрическомНеравенство Коши о среднем арифметическом и среднем геометрическом
Справочник по математике для школьников алгебра неравенство о среднем гармоническом и среднем геометрическомНеравенство о среднем гармоническом и среднем геометрическом
Справочник по математике для школьников алгебра неравенство о среднем квадратичном и среднем арифметическомНеравенство о среднем квадратичном и среднем арифметическом
Неравенства между средними значениями неравенство Коши неравенство о средним гармоческом и средним геометрическом неравенство о среднем квадратичном и средним арифметическом

Неравенства между средними значениями

      Для удобства приведем Таблицу из введенных в разделе «Средние значения» определений средних значений для произвольного набора из   n   положительных действительных чисел

x1 ,  x2 , … , xn

      Таблица – Средние значения

ОбозначениеФормула Название
Средние значения среднее арифметическое среднее геометрическое среднее гармоническое среднее пропорциональное среднее квадратическое определения и формулыmin ( x1 ,  x2 , … , xn )Минимум
M– 1Средние значения среднее арифметическое среднее геометрическое среднее гармоническое среднее пропорциональное среднее квадратическое определения и формулыСреднее гармоническое
M0Средние значения среднее арифметическое среднее геометрическое среднее гармоническое среднее пропорциональное среднее квадратическое определения и формулыСреднее геометрическое
M1Средние значения среднее арифметическое среднее геометрическое среднее гармоническое среднее пропорциональное среднее квадратическое определения и формулыСреднее арифметическое
M2Средние значения среднее арифметическое среднее геометрическое среднее гармоническое среднее пропорциональное среднее квадратическое определения и формулыСреднее квадратичное
Средние значения среднее арифметическое среднее геометрическое среднее гармоническое среднее пропорциональное среднее квадратическое определения и формулыmax ( x1 ,  x2 , … , xn )Максимум
Минимум

Обозначение:

Средние значения среднее арифметическое среднее геометрическое среднее гармоническое среднее пропорциональное среднее квадратическое определения и формулы

Формула:

min ( x1 ,  x2 , … , xn )

Среднее гармоническое

Обозначение:

M– 1

Формула:

Средние значения среднее арифметическое среднее геометрическое среднее гармоническое среднее пропорциональное среднее квадратическое определения и формулы

Среднее геометрическое

Обозначение:

M0

Формула:

Средние значения среднее арифметическое среднее геометрическое среднее гармоническое среднее пропорциональное среднее квадратическое определения и формулы

Среднее арифметическое

Обозначение:

M1

Формула:

Средние значения среднее арифметическое среднее геометрическое среднее гармоническое среднее пропорциональное среднее квадратическое определения и формулы

Среднее квадратичное

Обозначение:

M2

Формула:

Средние значения среднее арифметическое среднее геометрическое среднее гармоническое среднее пропорциональное среднее квадратическое определения и формулы

Максимум

Обозначение:

Средние значения среднее арифметическое среднее геометрическое среднее гармоническое среднее пропорциональное среднее квадратическое определения и формулы

Формула:

max ( x1 ,  x2 , … , xn )

      Утверждение 1. Пусть   p1   и   p2   – произвольные действительные числа, удовлетворяющие неравенству   p1< p2 .   Тогда для произвольного набора из   n   положительных действительных чисел

x1 ,  x2 , … , xn

справедливо неравенство

Неравенства между средними значениями неравенство Коши неравенство о средним гармоческом и средним геометрическом неравенство о среднем квадратичном и средним арифметическом,

причем в этом неравенстве знак равенства выполняется тогда и только тогда, когда все числа

x1 ,  x2 , … , xn

равны.

      Замечание. Утверждение 1 остается справедливым и в случае, когда Неравенства между средними значениями неравенство Коши неравенство о средним гармоческом и средним геометрическом неравенство о среднем квадратичном и средним арифметическом, и в случае, когдаНеравенства между средними значениями неравенство Коши неравенство о средним гармоческом и средним геометрическом неравенство о среднем квадратичном и средним арифметическом.

      Следствие 1. Для произвольного набора из   n   положительных чисел

x1 ,  x2 , … , xn

справедливы следующие неравенства между его средними значениями:

Неравенства между средними значениями неравенство Коши неравенство о средним гармоческом и средним геометрическом неравенство о среднем квадратичном и средним арифметическом
Неравенства между средними значениями неравенство Коши неравенство о средним гармоческом и средним геометрическом неравенство о среднем квадратичном и средним арифметическом

      Следствие 2. Для произвольного набора из   n   положительных чисел

x1 ,  x2 , … , xn

любые два из его средних значений

Неравенства между средними значениями неравенство Коши неравенство о средним гармоческом и средним геометрическом неравенство о среднем квадратичном и средним арифметическом
Неравенства между средними значениями неравенство Коши неравенство о средним гармоческом и средним геометрическом неравенство о среднем квадратичном и средним арифметическом

равны между собой тогда и только тогда, когда все числа

x1 ,  x2 , … , xn

равны.

      Итак, для   n   произвольных положительных чисел

x1 ,  x2 , … , xn

справедлива следующая цепочка неравенств:

Неравенства между средними значениями неравенство Коши неравенство о средним гармоческом и средним геометрическом неравенство о среднем квадратичном и средним арифметическом
Неравенства между средними значениями неравенство Коши неравенство о средним гармоческом и средним геометрическом неравенство о среднем квадратичном и средним арифметическом
Неравенства между средними значениями неравенство Коши неравенство о средним гармоческом и средним геометрическом неравенство о среднем квадратичном и средним арифметическом

Неравенство Коши о среднем арифметическом и среднем геометрическом

      Неравенство

Неравенства между средними значениями неравенство Коши неравенство о средним гармоческом и средним геометрическом неравенство о среднем квадратичном и средним арифметическом
Неравенства между средними значениями неравенство Коши неравенство о средним гармоческом и средним геометрическом неравенство о среднем квадратичном и средним арифметическом

утверждающее, что среднее геометрическое   n   положительных чисел не превосходит их среднего арифметического, называется неравенством Коши.

      В случае, когда   n = 2 ,   неравенство Коши имеет вид

Неравенства между средними значениями неравенство Коши неравенство о средним гармоческом и средним геометрическом неравенство о среднем квадратичном и средним арифметическом
Неравенства между средними значениями неравенство Коши неравенство о средним гармоческом и средним геометрическом неравенство о среднем квадратичном и средним арифметическом

      Докажем это неравенство:

Неравенства между средними значениями неравенство Коши неравенство о средним гармоческом и средним геометрическом неравенство о среднем квадратичном и средним арифметическом
Неравенства между средними значениями неравенство Коши неравенство о средним гармоческом и средним геометрическом неравенство о среднем квадратичном и средним арифметическом

что и требовалось.

     Из неравенства Коши с   n = 2 ,   взяв

Неравенства между средними значениями неравенство Коши неравенство о средним гармоческом и средним геометрическом неравенство о среднем квадратичном и средним арифметическом

нетрудно получить очень полезное следствие.

      Следствие. Для произвольного положительного числа   x   выполнено неравенство

Неравенства между средними значениями неравенство Коши неравенство о средним гармоческом и средним геометрическом неравенство о среднем квадратичном и средним арифметическом

Неравенство о среднем гармоническом и среднем геометрическом

      В случае   n   переменных неравенство о среднем гармоническом и среднем геометрическом имеет вид:

Неравенства между средними значениями неравенство Коши неравенство о средним гармоческом и средним геометрическом неравенство о среднем квадратичном и средним арифметическом
Неравенства между средними значениями неравенство Коши неравенство о средним гармоческом и средним геометрическом неравенство о среднем квадратичном и средним арифметическом

      В случае, когда   n = 2 ,   это неравенство имеет вид:

Неравенства между средними значениями неравенство Коши неравенство о средним гармоческом и средним геометрическом неравенство о среднем квадратичном и средним арифметическом
Неравенства между средними значениями неравенство Коши неравенство о средним гармоческом и средним геометрическом неравенство о среднем квадратичном и средним арифметическом

      Докажем это неравенство:

Неравенства между средними значениями неравенство Коши неравенство о средним гармоческом и средним геометрическом неравенство о среднем квадратичном и средним арифметическом
Неравенства между средними значениями неравенство Коши неравенство о средним гармоческом и средним геометрическом неравенство о среднем квадратичном и средним арифметическом
Неравенства между средними значениями неравенство Коши неравенство о средним гармоческом и средним геометрическом неравенство о среднем квадратичном и средним арифметическом
Неравенства между средними значениями неравенство Коши неравенство о средним гармоческом и средним геометрическом неравенство о среднем квадратичном и средним арифметическом

      На последнем этапе получилось неравенство Коши, доказанное в предыдущем разделе, следовательно, доказательство неравенства о среднем гармоническом и среднем геометрическом закончено.

Неравенство о среднем квадратичном и среднем арифметическом

      В случае   n   переменных неравенство о среднем квадратичном и среднем арифметическом имеет вид:

Неравенства между средними значениями неравенство Коши неравенство о средним гармоческом и средним геометрическом неравенство о среднем квадратичном и средним арифметическом
Неравенства между средними значениями неравенство Коши неравенство о средним гармоческом и средним геометрическом неравенство о среднем квадратичном и средним арифметическом

      В случае, когда   n = 2 ,   это неравенство имеет вид:

Неравенства между средними значениями неравенство Коши неравенство о средним гармоческом и средним геометрическом неравенство о среднем квадратичном и средним арифметическом
Неравенства между средними значениями неравенство Коши неравенство о средним гармоческом и средним геометрическом неравенство о среднем квадратичном и средним арифметическом

      Докажем это неравенство:

Неравенства между средними значениями неравенство Коши неравенство о средним гармоческом и средним геометрическом неравенство о среднем квадратичном и средним арифметическом
Неравенства между средними значениями неравенство Коши неравенство о средним гармоческом и средним геометрическом неравенство о среднем квадратичном и средним арифметическом
Неравенства между средними значениями неравенство Коши неравенство о средним гармоческом и средним геометрическом неравенство о среднем квадратичном и средним арифметическом
Неравенства между средними значениями неравенство Коши неравенство о средним гармоческом и средним геометрическом неравенство о среднем квадратичном и средним арифметическом

что и требовалось.

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре Резольвента

      На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ или ОГЭ по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит

Неравенства между средними значениями неравенство Коши неравенство о средним гармоческом и средним геометрическом неравенство о среднем квадратичном и средним арифметическомподготовительные курсы для школьников 8, 9, 10 и 11 классов

      У нас также для школьников организованы

Неравенства между средними значениями неравенство Коши неравенство о средним гармоческом и средним геометрическом неравенство о среднем квадратичном и средним арифметическоминдивидуальные занятия с репетиторами по математике и русскому языку

    Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными».

Запись по телефону (495) 509-28-10

МОСКВА, СВАО, Учебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

До ЕГЭ по математике осталось
днейчасовминутсекунд

НАШИ УСЛУГИ
Подготовительные курсы к ОГЭ и ЕГЭ
Подготовка к итоговому сочинению
Репетиторы
для школьников
НАШИ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Справочник
по математике
для школьников
Наши учебные пособия
ОФИЦИАЛЬНЫЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Демонстрационные варианты ЕГЭ

Проблемы с
математикой?

ПОМОЖЕМ!

(495) 509-28-10

Подготовка к ОГЭ и к ЕГЭ по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

ЕГЭ
по русскому языку?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ЕГЭ по русскому языкуУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

Сложно с геометрией?

ПРИХОДИТЕ!

(495) 509-28-10

Помощь школьникам 8 9 10 11 классов по геометрииУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»
НАШИ ПАРТНЕРЫ

Rambler's Top100    Рейтинг@Mail.ru 

Метрика Яндекса
Яндекс.Метрика