Квадратные уравнения
 Решение неполных квадратных уравнений |
| Выделение полного квадрата |
| Дискриминант |
| Разложение квадратного трехчлена на множители |
| Формула для корней квадратного уравнения |
| Прямая и обратная теоремы Виета |
Квадратным трёхчленом относительно переменной x называют многочлен
| ax2 + bx + c , | (1) |
где a, b и c – произвольные вещественные числа, причем 
Квадратным уравнением относительно переменной x называют уравнение
| ax2 + bx + c = 0, | (2) |
где a, b и c – произвольные вещественные числа, причем
Полным квадратным уравнением относительно переменной x называют уравнение
ax2 + bx + c = 0,
где a, b и c – произвольные вещественные числа, отличные от нуля.
Неполными квадратными уравнениями называют квадратные уравнения следующих типов:
|  |
|  |
|  |
Решение неполных квадратных уравнений
Покажем, как решаются неполные квадратные уравнения на примерах.
Пример 1. Решить уравнение
5x2 = 0 .
Решение.
Ответ: 0 .
Пример 2. Решить уравнение
| 2x2 + 3x= 0 . | (3) |
Решение. Вынося в левой части уравнения (3) переменную x за скобки, перепишем уравнение в виде
| x (2x+ 3) = 0 . | (4) |
Поскольку произведение двух сомножителей равно нулю тогда и только тогда, когда, или первый сомножитель равен нулю, или второй сомножитель равен нулю, то из уравнения (4) получаем:
Ответ: 
.
Пример 3. Решить уравнение
2x2 – 5 = 0 .
Решение.
Ответ: 
.
Пример 4. Решить уравнение
| 3x2 + 11 = 0 . | (5) |
Решение. Поскольку левая часть уравнения (5) положительна при всех значениях переменной x, а правая часть равна 0, то уравнение решений не имеет.
Ответ: 
.
Выделение полного квадрата
Выделением полного квадрата называют представление квадратного трёхчлена (1) в виде:
  | (6) |
Для того, чтобы получить формулу (6), совершим следующие преобразования:
Формула (6) получена.
Дискриминант
Дискриминантом квадратного трёхчлена (1) называют число, которое обозначается буквой D и вычисляется по формуле:
| D = b2 – 4ac. | (7) |
Дискриминант квадратного трёхчлена играет важную роль, и от того, какой знак он имеет, зависят различные свойства квадратного трёхчлена.
Используя дискриминант, формулу (6) можно переписать в виде
  | (8) |
Разложение квадратного трёхчлена на множители
Утверждение. В случае, когда 
, квадратный трёхчлен (1) разлагается на линейные множители. В случае, когда D < 0, квадратный трехчлен нельзя разложить на линейные множители.
Доказательство. В случае, когда D = 0, формула (8) и является разложением квадратного трехчлена на линейные множители:
 | (9) |
В случае, когда D > 0, выражение, стоящее в квадратных скобках в формуле (8), можно разложить на множители, воспользовавшись формулой сокращенного умножения «Разность квадратов»:
Таким образом, в случае, когда D > 0, разложение квадратного трехчлена (1) на линейные множители имеет вид
  | (10) |
В случае, когда D < 0, выражение, стоящее в квадратных скобках в формуле (8), является суммой квадратов и квадратный трёхчлен на множители не раскладывается.
Замечание. В случае, когда D < 0, квадратный трехчлен всё-таки можно разложить на линейные множители, но только в области комплексных чисел, однако этот материал выходит за рамки школьного курса.
Формула для корней квадратного уравнения
Из формул (9) и (10) вытекает формула для корней квадратного уравнения .
Действительно, в случае, когда D = 0, из формулы (9) получаем:
Следовательно, в случае, когда D = 0, уравнение (1) обладает единственным корнем, который вычисляется по формуле
 | (11) |
В случае, когда D > 0, из формулы (10) получаем:
Таким образом, в случае, когда D > 0, уравнение (1) имеет два различных корня, которые вычисляются по формулам
 | (12) |
 | (13) |
Замечание 1. Формулы (12) и (13) часто объединяют в одну формулу и записывают так:
 | (14) |
Замечание 2. В случае, когда D = 0, обе формулы (12) и (13) превращаются в формулу (11). Поэтому часто говорят, что в случае, когда D = 0, квадратное уравнение (1) имеет два совпавших корня, вычисляемых по формуле (11), а саму формулу (11) переписывают в виде:
 | (15) |
Замечание 3. В соответствии с материалом, изложенным в разделе «Кратные корни многочленов», корень (11) является корнем уравнения (1) кратности 2.
В случае, когда D = 0, разложение квадратного трехчлена на линейные множители (9) можно переписать по-другому, воспользовавшись формулой (15):
| ax2 + bx + c = = a (x – x1)2. | (16) |
В случае, когда D > 0, разложение квадратного трехчлена на линейные множители (10) с помощью формул (12) и (13) переписывается так:
| ax2 + bx + c = = a (x – x1) (x – x2) . | (17) |
Замечание 4. В случае, когда D = 0, корни x1 и x2 совпадают, и формула (17) принимает вид (16).
Прямая и обратная теоремы Виета
Раскрывая скобки и приводя подобные члены в правой части формулы (17), получаем равенство
= a (x – x1) (x – x2) =
= a [x2 – (x1 + x2) x + x1x2] =
= ax2 – a(x1 + x2) x + ax1x2 .
Отсюда, поскольку формула (17) является тождеством, вытекает, что коэффициенты многочлена
ax2 + bx + c
равны соответствующим коэффициентам многочлена
ax2 – a (x1 + x2) x + a x1x2 .
Таким образом, справедливы равенства
следствием которых являются формулы
 | (18) |
Формулы (18) и составляют содержание теоремы Виета (прямой теоремы Виета).
Словами прямая теорема Виета формулируется так: - «Если числа x1 и x2 являются корнями квадратного уравнения (1), то они удовлетворяют равенствам (18)».
Обратная теорема Виета формулируется так: - «Если числа x1 и x2 являются решениями системы уравнений (18), то они являются корнями квадратного уравнения (1)».
Для желающих ознакомиться с примерами решений различных задач по теме «Квадратные уравнения» мы рекомендуем наше учебное пособие «Квадратный трехчлен».
Графики парабол и решение с их помощью квадратных неравенств представлены в разделе «Парабола на координатной плоскости. Решение квадратных неравенств» нашего справочника.
На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.
| До ЕГЭ по математике осталось | |||
| дней | часов | минут | секунд |