Комбинаторика: факториалы и перестановки

      При решении задач по комбинаторике используют следующие важные понятия

Справочник по математике для школьников алгебра Комбинаторика факториалыФакториалы
Справочник по математике для школьников алгебра Комбинаторика перестановкиПерестановки
Справочник по математике для школьников алгебра Комбинаторика размещенияРазмещения
Справочник по математике для школьников алгебра Комбинаторика сочетанияСочетания
Комбинаторика размещения и сочетания

Факториалы

      Для произвольного натурального числа   n   формула

Комбинаторика факториалы и перестановки

определяет факториал числа   n   ( n !   читается, как   n   – факториал).

      Например,

Комбинаторика факториалы и перестановки
Комбинаторика факториалы и перестановки

      Считается, что

0 ! = 1 ,     1 ! = 1.

Перестановки

      Рассмотрим следующую задачу.

      Задача.   6   карточек пронумерованы числами   1, 2, 3, 4, 5, 6.   Карточки наугад выкладываем в ряд. Сколько при этом можно получить различных шестизначных чисел?

      Решение. Сначала слева направо пронумеруем места в ряду, куда выкладываем карточки: первое место, второе, третье, четвертое, пятое, шестое. На первое место можно положить одну из 6 карточек. Для этого есть   6   способов. В каждом из этих 6 способов на второе место можно положить одну из оставшихся   5   карточек. Таким образом, существует

Комбинаторика факториалы и перестановки

способов, чтобы положить карточки на первое и второе места. В каждом из этих   30   способов на третье место можно положить одну из оставшихся   4   карточек. Следовательно, существует

Комбинаторика факториалы и перестановки

способов, чтобы положить карточки на первое, второе и третье места. В каждом из этих   120   способов на четвертое место можно положить одну из оставшихся   3   карточек. Отсюда вытекает, что существует

Комбинаторика факториалы и перестановки

способов, чтобы положить карточки на первое, второе, третье и четвертое места. В каждом из этих   360   способов на пятое место можно положить одну из оставшихся   2   карточек. Следовательно, существует

Комбинаторика факториалы и перестановки

способов, чтобы положить карточки на первое, второе, третье, четвертое и пятое места. После этого у нас остается одна единственная карточка, которую мы и кладем на шестое место. Таким образом, при выкладывании карточек можно получить   720   различных шестизначных чисел.

      Ответ: 720.

      Замечание 1. В задаче мы рассмотрели   6   пронумерованных карточек и установили, что количество способов выкладывания этих карточек в ряд равно   6!

      Если бы у нас было n пронумерованных карточек, то количество способов выкладывания их в ряд равнялось бы   n ! .

      Замечание 2. Каждое расположение   n   пронумерованных карточек в ряд является перестановкой из n элементов, к изучению которых мы сейчас и переходим.

      Определение 1. Пусть   n   – натуральное число. Рассмотрим произвольное множество, содержащее n элементов. Говорят, что на этом множестве задано упорядочение (отношение порядка), если его элементы пронумерованы числами   1, 2, 3, … , n.

      Множество с заданным упорядочением называют упорядоченным множеством.

      Определение 2. Рассмотрим множество, содержащее n элементов. Перестановкой из n элементов называют любое упорядочение этого множества.

      Число перестановок из   n   элементов обозначают символом   Pn.

      В соответствии с Замечанием 1, справедлива формула:

Pn = n !

      В частности,

P6 = 6! = 720 .

      Замечание 3. Введенные в данном разделе перестановки называют также перестановками без повторений.

   С понятиями размещений из   n   элементов по   m   элементов и сочетаний из   n   элементов по   m   элементов можно познакомиться в разделе «Комбинаторика: размещения и сочетания» нашего справочника.

 

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре Резольвента

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

До ЕГЭ по математике осталось
днейчасовминутсекунд













НАШИ ПАРТНЕРЫ

Rambler's Top100    Рейтинг@Mail.ru 

Метрика Яндекса
Яндекс.Метрика