При решении задач по комбинаторике используют следующие важные понятия
Факториалы |
Перестановки |
Размещения |
Сочетания |
Для произвольного натурального числа n формула
определяет факториал числа n ( n ! читается, как n – факториал).
Например,
Считается, что
0 ! = 1 , 1 ! = 1.
Рассмотрим следующую задачу.
Задача. 6 карточек пронумерованы числами 1, 2, 3, 4, 5, 6. Карточки наугад выкладываем в ряд. Сколько при этом можно получить различных шестизначных чисел?
Решение. Сначала слева направо пронумеруем места в ряду, куда выкладываем карточки: первое место, второе, третье, четвертое, пятое, шестое. На первое место можно положить одну из 6 карточек. Для этого есть 6 способов. В каждом из этих 6 способов на второе место можно положить одну из оставшихся 5 карточек. Таким образом, существует
способов, чтобы положить карточки на первое и второе места. В каждом из этих 30 способов на третье место можно положить одну из оставшихся 4 карточек. Следовательно, существует
способов, чтобы положить карточки на первое, второе и третье места. В каждом из этих 120 способов на четвертое место можно положить одну из оставшихся 3 карточек. Отсюда вытекает, что существует
способов, чтобы положить карточки на первое, второе, третье и четвертое места. В каждом из этих 360 способов на пятое место можно положить одну из оставшихся 2 карточек. Следовательно, существует
способов, чтобы положить карточки на первое, второе, третье, четвертое и пятое места. После этого у нас остается одна единственная карточка, которую мы и кладем на шестое место. Таким образом, при выкладывании карточек можно получить 720 различных шестизначных чисел.
Ответ: 720.
Замечание 1. В задаче мы рассмотрели 6 пронумерованных карточек и установили, что количество способов выкладывания этих карточек в ряд равно 6!
Если бы у нас было n пронумерованных карточек, то количество способов выкладывания их в ряд равнялось бы n ! .
Замечание 2. Каждое расположение n пронумерованных карточек в ряд является перестановкой из n элементов, к изучению которых мы сейчас и переходим.
Определение 1. Пусть n – натуральное число. Рассмотрим произвольное множество, содержащее n элементов. Говорят, что на этом множестве задано упорядочение (отношение порядка), если его элементы пронумерованы числами 1, 2, 3, … , n.
Множество с заданным упорядочением называют упорядоченным множеством.
Определение 2. Рассмотрим множество, содержащее n элементов. Перестановкой из n элементов называют любое упорядочение этого множества.
Число перестановок из n элементов обозначают символом Pn.
В соответствии с Замечанием 1, справедлива формула:
Pn = n !
В частности,
P6 = 6! = 720 .
Замечание 3. Введенные в данном разделе перестановки называют также перестановками без повторений.
С понятиями размещений из n элементов по m элементов и сочетаний из n элементов по m элементов можно познакомиться в разделе «Комбинаторика: размещения и сочетания» нашего справочника.
На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.
До ЕГЭ по математике осталось | |||
дней | часов | минут | секунд |
|