Справочник по математикеГеометрия (Стереометрия)
Вписанные и описанные фигуры
Призмы, вписанные в цилиндры
Содержание
Призмы, вписанные в цилиндр. Свойства призмы, вписанной в цилиндр
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Призмой, вписанной в цилиндр, называют такую призму, основания которой вписаны в окружности оснований цилиндра, а боковые ребра призмы являются образующими цилиндра (рис. 1).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Если призма вписана в цилиндр, то цилиндр называют описанным около призмы.
Рис.1
Прежде, чем перейти к вопросу о том, какую призму можно вписать в цилиндр, докажем следующее свойство призм.
УТВЕРЖДЕНИЕ 1. Если около оснований призмы можно описать окружности, то отрезок, соединяющий центры описанных окружностей, будет параллелен и равен боковому ребру призмы.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим призму A1A2 ... AnA'1A'2 ... A'n, у которой около оснований A1A2 ... An и A'1A'2 ... A'n можно описать окружности. Пусть около нижнего основания A1A2 ... An призмы A1A2 ... AnA'1A'2 ... A'n описана окружность с центром O радиуса r. Проведем через точку O прямую, параллельную боковому ребру A1A'1 призмы и пересекающую плоскость верхнего основания в некоторой точке, которую обозначим O'.
Докажем, что точка O' является центром окружности радиуса r, описанной около верхнего основания призмы. С этой целью рассмотрим, например, четырехугольник A1A'1O'O (рис. 2).
Рис.2
Этот четырехугольник является параллелограммом, поскольку прямые A1A'1 и OO' параллельны по построению, а прямые A1O и A'1O' параллельны как линии пересечения двух параллельных плоскостей третьей плоскостью . Следовательно,
A'1O' = A1O = r .
Рассуждая аналогичным образом, заключаем, что
A'1O' = A'2O' = ... = A'nO' = r ,
то есть точка O' – центр окружности радиуса r, описанной около верхнего основания призмы.
В силу того, что четырехугольник OO'A1A'1 является параллелограммом, получаем равенство
OO' = A1A'1.
Утверждение 1 доказано.
ТЕОРЕМА. Около призмы можно описать цилиндр тогда и только тогда, когда выполнены следующие два условия:
- Призма является прямой призмой;
- Около оснований призмы можно описать окружности.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Докажем сначала, что если около n – угольной призмы описан цилиндр, то оба условия теоремы выполнены.
Действительно, выполнение условия 2 следует непосредственно из определения цилиндра, описанного около призмы. Из этого определения также следует, что вписанная в цилиндр призма является прямой призмой, поскольку образующие цилиндра перпендикулярны к плоскостям его оснований,
Таким образом, мы доказали, что, если призма вписана в цилиндр, то оба условия теоремы выполнены.
Теперь рассмотрим прямую n – угольную призму высоты h, около оснований которой можно описать окружности, и докажем, что около такой призмы можно описать цилиндр.
Обозначим буквой O центр окружности радиуса r, описанной около нижнего основания призмы, а символом O' обозначим центр окружности, описанной около верхнего основания призмы.
Рис.3
Поскольку многоугольники, лежащие в основаниях призмы равны, то и радиусы описанных около них окружностей будут равны. Согласно утверждению 1 отрезок OO' параллелен и равен боковому ребру призмы. Так как рассматриваемая призма прямая, то ее боковые ребра перпендикулярны плоскости основания и равны высоте призмы h. Значит, и отрезок OO' перпендикулярен плоскости основания призмы и равен h.
Цилиндр с осью OO', радиусом r и высотой h и будет описан около исходной призмы.
Доказательство теоремы завершено.
СЛЕДСТВИЕ 1. Высота призмы, вписанной в цилиндр, равна высоте цилиндра.
СЛЕДСТВИЕ 2. Около любой прямой треугольной призмы можно описать цилиндр (рис. 4).
Рис.4
Справедливость следствия 2 вытекает из того, что около любого треугольника можно описать окружность.
СЛЕДСТВИЕ 3. Около любого прямоугольного параллелепипеда (в частности, около куба) можно описать цилиндр (рис. 5).
Рис.5
Справедливость следствия 3 вытекает из того, что около любого прямоугольника можно описать окружность.
ЗАМЕЧАНИЕ 1. Если у прямоугольного параллелепипеда три ребра, выходящие из одной вершины, равны a, b, c и различны, то существует три возможности описать около этого параллелепипеда цилиндр в зависимости от того, какое из ребер параллелепипеда выбрано в качестве образующей описанного цилиндра (рис. 6, 7, 8).
|
СЛЕДСТВИЕ 4. Около любой правильной n - угольной призмы можно описать цилиндр (рис. 9).
Рис.9
Для доказательства следствия 4 достаточно заметить, что правильная n – угольная призма – это прямая призма, основания которой являются правильными n – угольниками, а около любого правильного n – угольника можно описать окружность.
Отношение объема прямоугольного параллелепипеда к объему описанного около него цилиндра
ЗАДАЧА 1. Около прямоугольного параллелепипеда с ребрами a, b, c описан цилиндр так, что высота цилиндра равна c . Найти отношение объемов призмы и цилиндра.
РЕШЕНИЕ. Объем прямоугольного параллелепипеда ABCDA'B'C'D' (рис.10)
Рис.10
вычисляется по формуле
а объем цилиндра, описанного около этого параллелепипеда, можно найти по формуле
где R – это радиус окружности, описанной около прямоугольника со сторонами a и b (рис 11).
Рис.11
Поскольку угол ABC прямой, то отрезок AC является диаметром окружности и равен 2R . По теореме Пифагора находим, что
4R2 = a2 + b2 ,
Следовательно,
Таким образом
ОТВЕТ.
ЗАДАЧА 2. Около куба с ребром a описан цилиндр. Найти отношение объемов куба и цилиндра.
РЕШЕНИЕ. Поскольку куб является прямоугольным параллелепипедом, у которого все ребра равны, то, используя результат задачи 1, получаем
ОТВЕТ.
Отношение объема правильной n - угольной призмы к объему описанного около этой призмы цилиндра
ЗАДАЧА 3. Около правильной n - угольной призмы описан цилиндр. Найти отношение объемов призмы и цилиндра.
РЕШЕНИЕ. Поскольку и объем призмы, и объем цилиндра вычисляются по формуле
V = Sосн h,
а высота призмы равна высоте описанного около нее цилиндра, то для объемов правильной n - угольной призмы и описанного около нее цилиндра справедливо равенство
С помощью формулы для площади правильного n - угольника, вписанного в окружность радиуса R, получаем, что
Следовательно,
ОТВЕТ.
СЛЕДСТВИЕ 5. Отношение объема правильной треугольной призмы к объему описанного около нее цилиндра равно
СЛЕДСТВИЕ 6. Отношение объема правильной четырехугольной призмы к объему описанного около нее цилиндра равно
СЛЕДСТВИЕ 7. Отношение объема правильной шестиугольной призмы к объему описанного около нее цилиндра равно