![]() |
![]() |
![]() |
Все возможные случаи взаимного расположения двух прямых в пространстве представлены в следующей таблице.
С перечисленными в предыдущей таблице случаями взаимного расположения двух прямых в пространстве близко связаны утверждения, представленные в следующей таблице.
Признак скрещивающихся прямых. Если одна из двух прямых лежит на плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещиваются (рис.1).
Рис.1
Доказательство. Напомним, что две прямые называют скрещивающимися, если не существует плоскости, содержащей обе эти прямые, и будем доказывать признак скрещивающихся прямых методом «От противного».
Для этого предположим, что прямая a, пересекающая плоскость в точке K, и прямая b, лежащая в плоскости α (рис. 1), не являются скрещивающимися. Из этого предположения следует, что существует плоскость, содержащая обе эти прямые. Обозначим эту плоскость буквой β и докажем, что плоскость β совпадает с плоскостью α. Действительно, поскольку обе плоскости α и β проходят через прямую b и точку K, не лежащую на этой прямой, то они совпадают. Следовательно, прямая a лежит в плоскости прямая a лежит в плоскости. Мы получили противоречие с тем, что по условию прямая a пересекает плоскость прямая a пересекает плоскость, а не лежит в ней. Доказательство признака скрещивающихся прямых завершено.
Углом между скрещивающимися прямыми называют угол между пересекающимися прямыми пересекающимися прямыми, соответственно параллельными параллельными данным скрещивающимся прямым скрещивающимся прямым (рис. 2).
Рис.2
На рисунке 2 изображены скрещивающиеся прямые a и b. Прямая a' параллельна прямой a, прямая b' параллельна прямой b. Прямые a' и b' пересекаются. Угол φ и является углом между скрещивающимися прямыми a и b.
Задача. В кубе кубе ABCDA1B1C1D1 найти угол между прямыми AB1 и BC1.
Решение. Поскольку прямая AB1 пересекает плоскость BB1C1 в точке B1, которая не лежит на прямой BC1, то по признаку скрещивающихся прямых прямые AB1 и BC1 скрещиваются (рис. 3).
Рис.3
Для того, чтобы найти угол между прямыми AB1 и BC1, проведем в кубе диагональ боковой грани AD1 и диагональ верхнего основания D1B1 (рис. 4).
Рис.4
По определению угла между скрещивающимися прямыми угол D1AB1 и является углом между прямыми AB1 и BC1. Поскольку треугольник AD1B1 равносторонний, угол D1AB1 равен 60°.
Ответ. 60°.
Замечание. Для более глубокого усвоения понятия «Скрещивающиеся прямые» рекомендуем ознакомиться с разделами нашего сайта «Свойства скрещивающихся прямых» и «Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве. Признак параллельности прямой и плоскости».
На сайте можно также ознакомиться с нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.
До ЕГЭ по математике осталось | |||
дней | часов | минут | секунд |