Простые числа, составные числа

Содержание

Электронный справочник по математике для школьников арифметика простые и составные числаПростые и составные числа
Электронный справочник по математике для школьников арифметика простые и составные числа разложение на множителиРазложение натуральных чисел на множители (каноническое разложение натуральных чисел)
Справочник по математике для школьников арифметика простые составные числаБесконечность множества простых чисел
Электронный справочник по математике для школьников арифметика простые и составные числа разложение на множители

Простые и составные числа

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Простым числом называется натуральное число, отличное от   1   и такое, которое делится только на   1   и на самого себя.

Поскольку на   1   и на самого себя делится любое натуральное число, то из этого определения вытекает, что у простого числа других делителей нет.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Составным числом называется натуральное число, отличное от   1   и не являющееся простым.

Следовательно, у составного числа существует, по крайней мере, один делитель, отличный от   1   и самого числа.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Делители составного числа, отличные от   1   и самого числа, называют множителями.

Например, числа   2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17   и т.д. являются простыми. Числа   4 , 6 , 8 , 9 , 10 , 12   и т.д. являются составными.

ЗАДАЧА. Доказать, что полусумма двух последовательных простых чисел, больших   2,   является составным числом.

РЕШЕНИЕ. Поскольку все простые числа большие   2   являются нечетными числами, то их сумма будет четным числом, а полусумма - натуральным числом.

Это натуральное число будет больше, чем меньшее из заданных последовательных простых чисел, и меньше, чем большее из них.

Так как заданные простые числа являются последовательными простыми числами, то между ними не может быть других простых чисел, а, значит, их полусумма является составным числом.

ЗАМЕЧАНИЕ. Чтобы выяснить, является ли данное число   a   простым или составным, достаточно проверить, делится ли это число на простые числа, не превосходящие числа Электронный справочник по математике для школьников арифметика простые и составные числа разложение на множители.

Разложение натуральных чисел на множители (каноническое разложение натуральных чисел)

ТЕОРЕМА. Любое натуральное число, отличное от   1 ,   можно представить в виде произведения множителей, являющихся простыми числами, причем единственным образом.

Иногда эту теорему формулируют так: любое натуральное число, отличное от   1 ,   можно единственным образом разложить на простые множители.

ПРИМЕР. Разложить на множители число   816 .

РЕШЕНИЕ.

Электронный справочник по математике для школьников арифметика простые и составные числа разложение на множители

Равенство

Электронный справочник по математике для школьников арифметика простые и составные числа разложение на множители

и есть единственное разложение числа   816   на простые множители. Простыми множителями в данном примере являются числа   2 , 3   и   17 .

Бесконечность множества простых чисел

ТЕОРЕМА. Множество простых чисел бесконечно.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Будем доказывать эту теорему от противного, предположив, что множество простых чисел конечно.

Тогда рассмотрим число, равное произведению всех простых чисел плюс   1 .   Это число не делится ни на одно из простых чисел, поэтому его разложение на простые множители с одной стороны должно существовать, а с другой стороны не может содержать ни одного из множителей, являющихся простым числом.

Полученное противоречие доказывает, множество простых чисел должно быть бесконечным.

ЗАМЕЧАНИЕ. В нашем справочнике приведена таблица простых чисел от   1   до   10000 .

Демонстрационные варианты ЕГЭ и ОГЭ

С демонстрационными вариантами ЕГЭ и ОГЭ по всем предметам, опубликованными на официальном информационном портале Единого Государственного Экзамена, можно ознакомиться на специальной страничке нашего сайта.

Наши учебные пособия для школьников

При подготовке к ЕГЭ и к ОГЭ по математике Вам могут также пригодиться наши учебные пособия.