Справочник по математикеПоследовательность общий член возрастающая убывающая монотонная последовательность ограниченные снизу сверху неограниченные последовательностиЭлементы математического анализаПоследовательность общий член возрастающая убывающая монотонная последовательность ограниченные снизу сверху неограниченные последовательности Числовые последовательности

 

Числовые последовательности

Содержание

числовая последовательность общий член последовательности способы задания числовой последовательности Числовые последовательности. Способы задания числовых последовательностей
возрастающие последовательности убывающие последовательности монотонные последовательности Возрастающие и убывающие последовательности
ограниченные снизу последовательности ограниченные сверху последовательности ограниченные последовательности неограниченные последовательности Ограниченные и неограниченные последовательности
 

Последовательность общий член возрастающая убывающая монотонная последовательность ограниченные снизу сверху неограниченные последовательности

Числовые последовательности. Способы задания числовых последовательностей

Если каждому натуральному числу n поставлено в соответствие некоторое действительное число  xn , то говорят, что задана числовая последовательность

x1 ,  x2 , … xn , …

Число x1 называют членом последовательности с номером 1 или первым членом последовательности, число x2 - членом последовательности с номером 2 или вторым членом последовательности, и т.д. Число xn называют членом последовательности с номером n .

Существуют два способа задания числовых последовательностей – с помощью формулы общего члена последовательности и с помощью рекуррентной формулы.

Задание последовательности с помощью формулы общего члена последовательности – это задание последовательности

x1 ,  x2 , … xn , …

с помощью формулы, выражающей зависимость члена xn от его номера n .

ПРИМЕР 1. Числовая последовательность

1, 4, 9, … n2 , …

задана с помощью формулы общего члена

xn = n2,       n = 1, 2, 3, …

Задание последовательности с помощью формулы, выражающей член последовательности  xn через члены последовательности с предшествующими номерами, называют заданием последовательности с помощью рекуррентной формулы.

ПРИМЕР 2 (Числа Фибоначчи). Числовая последовательность

1,  1,  2,  3,  5,  8,  13,  21,  34,  55,

может быть задана с помощью рекуррентной формулы

xn = xn – 1 + xn – 2 ,       n > 2 ,

с начальными условиями

x1 = 1,       x2 = 1 .

Возрастающие и убывающие последовательности

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Числовую последовательность

x1 ,  x2 , … xn , …

называют возрастающей последовательностью, если каждый член этой последовательности больше предшествующего члена.

Другими словами, для всех   n = 1, 2, 3, …   выполнено неравенство

xn + 1 > xn

ПРИМЕР 3. Последовательность натуральных чисел

1, 2, 3, … n, …

является возрастающей последовательностью.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Числовую последовательность

x1 ,  x2 , … xn , …

называют убывающей последовательностью, если каждый член этой последовательности меньше предшествующего члена.

Другими словами, для всех   n = 1, 2, 3, …   выполнено неравенство

xn + 1 < xn

ПРИМЕР 4. Последовательность

возрастающие последовательности убывающие последовательности монотонные последовательности

заданная формулой

возрастающие последовательности убывающие последовательности монотонные последовательности

является убывающей последовательностью.

ПРИМЕР 5. Числовая последовательность

1, – 1, 1, – 1, …

заданная формулой

xn = (– 1)n,       n = 1, 2, 3, …

не является ни возрастающей, ни убывающей последовательностью.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Возрастающие и убывающие числовые последовательности называют монотонными последовательностями.

Ограниченные и неограниченные последовательности

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4. Числовую последовательность

x1 ,  x2 , … xn , …

называют ограниченной сверху, если существует такое число M, что каждый член этой последовательности меньше числа M.

Другими словами, для всех   n = 1, 2, 3, …   выполнено неравенство

xn < M

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5. Числовую последовательность

x1 ,  x2 , … xn , …

называют ограниченной снизу, если существует такое число m, что каждый член этой последовательности больше числа m.

Другими словами, для всех   n = 1, 2, 3, …   выполнено неравенство

xn > m

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6. Числовую последовательность

x1 ,  x2 , … xn , …

называют ограниченной, если она ограничена и сверху, и снизу.

Другими словами, существуют такие числа M и m, что для всех   n = 1, 2, 3, …   выполнено неравенство

m < xn < M

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 7. Числовые последовательности, которые не являются ограниченными, называют неограниченными последовательностями.

ПРИМЕР 6. Числовая последовательность

1, 4, 9, … n2 , …

заданная формулой

xn = n2,       n = 1, 2, 3, … ,

ограничена снизу, например, числом 0. Однако эта последовательность неограничена сверху.

ПРИМЕР 7 .  Последовательность

ограниченные снизу последовательности ограниченные сверху последовательности ограниченные последовательности неограниченные последовательности

заданная формулой

ограниченные снизу последовательности ограниченные сверху последовательности ограниченные последовательности неограниченные последовательности

является ограниченной последовательностью, поскольку для всех   n = 1, 2, 3, …   выполнено неравенство

ограниченные снизу последовательности ограниченные сверху последовательности ограниченные последовательности неограниченные последовательности

Близкие по тематике разделы сайта

С последовательностями и их пределами можно также ознакомиться в учебном пособии «Дифференциальное исчисление функций одной переменной»

© «Резольвента - учебные материалы», 2009-2024 

Rambler's Top100  Рейтинг@Mail.ru

Метрика Яндекса
 Яндекс.Метрика