Числовые последовательности

Содержание

числовая последовательность общий член последовательности способы задания числовой последовательности числа ФибоначчиЧисловые последовательности. Способы задания числовых последовательностей
возрастающие последовательности убывающие последовательности монотонные последовательностиВозрастающие и убывающие последовательности
ограниченные снизу последовательности ограниченные сверху последовательности ограниченные последовательности неограниченные последовательностиОграниченные и неограниченные последовательности
Последовательность общий член возрастающая убывающая монотонная последовательность числа Фибоначчи ограниченные снизу сверху неограниченные последовательности

Числовые последовательности. Способы задания числовых последовательностей

Если каждому натуральному числу n поставлено в соответствие некоторое действительное число  xn ,  то говорят, что задана числовая последовательность

x1 ,  x2 , … xn , …

Число x1 называют членом последовательности с номером 1 или первым членом последовательности, число x2 - членом последовательности с номером 2 или вторым членом последовательности, и т.д. Число xn называют членом последовательности с номером n .

Существуют два способа задания числовых последовательностей – с помощью формулы общего члена последовательности и с помощью рекуррентной формулы.

Задание последовательности с помощью формулы общего члена последовательности – это задание последовательности

x1 ,  x2 , … xn , …

с помощью формулы, выражающей зависимость члена xn от его номера n .

ПРИМЕР 1. Числовая последовательность

1, 4, 9, … n2 , …

задана с помощью формулы общего члена

xn = n2,       n = 1, 2, 3, …

Задание последовательности с помощью формулы, выражающей член последовательности  xn через члены последовательности с предшествующими номерами, называют заданием последовательности с помощью рекуррентной формулы.

ПРИМЕР 2 (Числа Фибоначчи). Числовая последовательность

1,  1,  2,  3,  5,  8,  13,  21,  34,  55,

может быть задана с помощью рекуррентной формулы

xn = xn – 1 + xn – 2 ,       n > 2 ,

с начальными условиями

x1 = 1,       x2 = 1 .

Возрастающие и убывающие последовательности

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Числовую последовательность

x1 ,  x2 , … xn , …

называют возрастающей последовательностью, если каждый член этой последовательности больше предшествующего члена.

Другими словами, для всех   n = 1, 2, 3, …   выполнено неравенство

xn + 1 > xn

ПРИМЕР 3. Последовательность натуральных чисел

1, 2, 3, … n, …

является возрастающей последовательностью.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Числовую последовательность

x1 ,  x2 , … xn , …

называют убывающей последовательностью, если каждый член этой последовательности меньше предшествующего члена.

Другими словами, для всех   n = 1, 2, 3, …   выполнено неравенство

xn + 1 < xn

ПРИМЕР 4. Последовательность

возрастающие последовательности убывающие последовательности монотонные последовательности

заданная формулой

возрастающие последовательности убывающие последовательности монотонные последовательности

является убывающей последовательностью.

ПРИМЕР 5. Числовая последовательность

1, – 1, 1, – 1, …

заданная формулой

xn = (– 1)n,       n = 1, 2, 3, …

не является ни возрастающей, ни убывающей последовательностью.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Возрастающие и убывающие числовые последовательности называют монотонными последовательностями.

Ограниченные и неограниченные последовательности

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4. Числовую последовательность

x1 ,  x2 , … xn , …

называют ограниченной сверху, если существует такое число M, что каждый член этой последовательности меньше числа M.

Другими словами, для всех   n = 1, 2, 3, …   выполнено неравенство

xn < M

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5. Числовую последовательность

x1 ,  x2 , … xn , …

называют ограниченной снизу, если существует такое число m, что каждый член этой последовательности больше числа m.

Другими словами, для всех   n = 1, 2, 3, …   выполнено неравенство

xn > m

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6. Числовую последовательность

x1 ,  x2 , … xn , …

называют ограниченной, если она ограничена и сверху, и снизу.

Другими словами, существуют такие числа M и m, что для всех   n = 1, 2, 3, …   выполнено неравенство

m < xn < M

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 7. Числовые последовательности, которые не являются ограниченными, называют неограниченными последовательностями.

ПРИМЕР 6. Числовая последовательность

1, 4, 9, … n2 , …

заданная формулой

xn = n2,       n = 1, 2, 3, … ,

ограничена снизу, например, числом 0. Однако эта последовательность неограничена сверху.

ПРИМЕР 7 .  Последовательность

ограниченные снизу последовательности ограниченные сверху последовательности ограниченные последовательности неограниченные последовательности

заданная формулой

ограниченные снизу последовательности ограниченные сверху последовательности ограниченные последовательности неограниченные последовательности

является ограниченной последовательностью, поскольку для всех   n = 1, 2, 3, …   выполнено неравенство

ограниченные снизу последовательности ограниченные сверху последовательности ограниченные последовательности неограниченные последовательности

Демонстрационные варианты ЕГЭ и ОГЭ

С демонстрационными вариантами ЕГЭ и ОГЭ по всем предметам, опубликованными на официальном информационном портале Единого Государственного Экзамена, можно ознакомиться на специальной страничке нашего сайта.

Наши учебные пособия для школьников

При подготовке к ЕГЭ и к ОГЭ по математике Вам могут также пригодиться наши учебные пособия.