Обратные тригонометрические функции

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Пусть число a удовлетворяет неравенству Обратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенс. Число x называют арксинусом числа a и обозначают   x = arcsin a, если выполнены два условия:

Обратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенс

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Пусть число a удовлетворяет неравенству Обратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенс. Число x называют арккосинусом числа a и обозначают   x = arccos a, если выполнены два условия:

Обратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенс

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Рассмотрим произвольное число a . Число x называют арктангенсом числа a и обозначают   x = arctg a, если выполнены два условия:

Обратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенс

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4. Рассмотрим произвольное число a . Число x называют арккотангенсом числа a и обозначают   x = arcctg a, если выполнены два условия:

Обратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенс

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс удовлетворяют, в частности, следующим соотношениям:

Обратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенс
Обратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенс
arcsin (– a) = – arcsin a ,
arccos (– a) =
=
π – arccos a ,
arctg (– a) = – arctg a ,
arcctg (– a) =
=
π – arcctg a .

Обратными тригонометрическими функциями называют функции:

Обратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенс

Графики этих функций изображены на рисунках 1, 2, 3, 4.

Обратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенс
Обратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенс

Рис. 1. График функции   y = arcsin x

ТАБЛИЦА ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИИ   y = arcsin x

x– 1Обратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенсОбратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенсОбратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенс 0 Обратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенсОбратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенсОбратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенс1
y = arcsin xОбратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенсОбратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенсОбратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенсОбратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенс0Обратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенсОбратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенсОбратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенсОбратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенс
xy = arcsin x
– 1Обратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенс
Обратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенсОбратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенс
Обратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенсОбратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенс
Обратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенсОбратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенс
 0 0
Обратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенсОбратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенс
Обратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенсОбратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенс
Обратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенсОбратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенс
1Обратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенс

Обратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенс
Обратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенс

Рис. 2. График функции   y = arccos x

ТАБЛИЦА ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИИ   y = arccos x

x– 1Обратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенсОбратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенсОбратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенс 0 Обратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенсОбратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенсОбратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенс 1 
y = arccos xπОбратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенсОбратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенсОбратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенсОбратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенсОбратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенсОбратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенсОбратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенс0
xy = arccos x
– 1π
Обратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенсОбратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенс
Обратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенсОбратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенс
Обратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенсОбратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенс
 0 Обратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенс
Обратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенсОбратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенс
Обратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенсОбратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенс
Обратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенсОбратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенс
 1 0

Обратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенс
Обратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенс

Рис. 3. График функции   y = arctg x

ТАБЛИЦА ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИИ   y = arctg x

xОбратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенс– 1Обратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенс0Обратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенс 1 Обратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенс
y = arctg xОбратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенсОбратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенсОбратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенс 0 Обратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенсОбратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенсОбратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенс
xy = arctg x
Обратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенсОбратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенс
– 1Обратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенс
Обратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенсОбратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенс
0 0 
Обратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенсОбратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенс
 1 Обратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенс
Обратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенсОбратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенс

Обратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенс
Обратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенс

Рис. 4. График функции   y = arcctg x

ТАБЛИЦА ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИИ   y = arcctg x

xОбратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенс– 1Обратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенс0Обратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенс1Обратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенс
y = arcctg xОбратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенсОбратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенсОбратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенсОбратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенсОбратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенсОбратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенсОбратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенс
xy = arcctg x
Обратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенсОбратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенс
– 1Обратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенс
Обратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенсОбратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенс
0Обратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенс
Обратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенсОбратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенс
1Обратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенс
Обратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенсОбратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенс

ПРИМЕР. Решить уравнение

2 arcsin 2x = arccos 7x .

РЕШЕНИЕ. Возьмём косинус от обеих частей уравнения. Тогда в левой части уравнения получим:

cos ( 2 arcsin 2x ) = 1 – 2sin2( arcsin 2x ) = 1 – 2 ( 2x )2 = 1 – 8x2 .

cos ( 2 arcsin 2x ) =
= 1 – 2sin2( arcsin 2x ) =
= 1 – 2 ( 2x )2 = 1 – 8x2 .

В правой части уравнения получим:

cos ( arccos 7x ) = 7x.

Следовательно, возникает квадратное уравнение:

Обратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенс
Обратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенс

В силу того, что область определения обратных тригонометрических функций   y = arcsin x и   y = arccos x   имеет вид: Обратные тригонометрические функции арккосинус, второй корень должен быть отброшен.

ОТВЕТ: Обратные тригонометрические функции арккосинус

Демонстрационные варианты ЕГЭ и ОГЭ

С демонстрационными вариантами ЕГЭ и ОГЭ по всем предметам, опубликованными на официальном информационном портале Единого Государственного Экзамена, можно ознакомиться на специальной страничке нашего сайта.

Наши учебные пособия для школьников

При подготовке к ЕГЭ и к ОГЭ по математике Вам могут также пригодиться наши учебные пособия.