Наименьшее общее кратное

Содержание

Справочник по математике для школьников арифметика наименьшее общее кратноеОбщее кратное. Наименьшее общее кратное
Справочник по математике для школьников арифметика алгоритм нахождения наименьшего общего кратногоАлгоритм нахождения наименьшего общего кратного
Справочник по математике для школьников арифметика cвязь между наибольшим общим делителем и наименьшим общим кратным двух натуральных чиселСвязь между наибольшим общим делителем и наименьшим общим кратным двух натуральных чисел
Электронный справочник по математике для школьников арифметика  наименьшее общее кратное алгоритм нахождения наименьшего общего кратного cвязь между наибольшим общим делителем и наименьшим общим кратным двух натуральных чисел

Общее кратное. Наименьшее общее кратное

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Если натуральное число   a   делится на натуральное число   b ,  то число   a   называют кратным числу   b .  

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Общим кратным нескольких натуральных чисел называют натуральное число, которое является кратным для каждого из этих чисел.

В частности, общим кратным нескольких чисел является произведение этих чисел.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Наименьшее из общих кратных нескольких натуральных чисел называют наименьшим общим кратным (НОК) этих чисел.

Алгоритм нахождения наименьшего общего кратного

Рассмотрим алгоритм нахождения наименьшего общего кратного нескольких чисел на следующем примере.

ПРИМЕР. Найти наименьшее общее кратное чисел   100 ,  750   и   800 .

      РЕШЕНИЕ. Разложим эти числа на простые множители:

Электронный справочник по математике для школьников арифметика наименьшее общее кратное

Простой множитель   2   в первое разложение на множители входит в степени   2 ,   во второе разложение – в степени   1 ,   в третье разложение – в степени   5 .   Обозначим наибольшую из этих степеней буквой   k .   Очевидно, что   k = 5 .

Простой множитель   3   в первое разложение на множители входит в степени   0   (другими словами, множитель   3   в первое разложение на множители вообще не входит), во второе разложение входит в степени   1 ,   в третье разложение – в степени   0 .   Обозначим наибольшую из этих степеней буквой   l .   Очевидно, что   l = 1 .

Простой множитель   5   в первое разложение на множители входит в степени   2 ,   во второе разложение – в степени   3 ,   в третье разложение – в степени   2 .   Обозначим наибольшую из этих степеней буквой   m . Очевидно, что   m = 3 .

Теперь рассмотрим число:

Электронный справочник по математике для школьников арифметика наименьшее общее кратное

то число и есть наименьшее общее кратное чисел   100 ,  750   и   800 .

ОТВЕТ:   12000 .

Связь между наибольшим общим делителем и наименьшим общим кратным двух натуральных чисел

УТВЕРЖДЕНИЕ. Наименьшее общее кратное двух чисел можно найти, разделив произведение этих чисел на их наибольший общий делитель.

Действительно, рассмотрим, например, два числа:   10   и   75 .   Разлагая эти числа на простые множители, получим

Электронный справочник по математике для школьников арифметика наименьшее общее кратное

Используя алгоритмы нахождения наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного чисел, получаем, что наибольший общий делитель этих чисел равен   5 ,   а наименьшее общее кратное этих чисел равно   150 .   Поскольку произведение чисел   10   и   75   равно   750 ,   то справедливо соотношение

Электронный справочник по математике для школьников арифметика наименьшее общее кратное

что и требовалось показать.

ЗАМЕЧАНИЕ. Поскольку наибольший общий делитель двух взаимно простых чисел равен   1 ,   то наименьшее общее кратное двух взаимно простых чисел равно их произведению.

Демонстрационные варианты ЕГЭ и ОГЭ

С демонстрационными вариантами ЕГЭ и ОГЭ по всем предметам, опубликованными на официальном информационном портале Единого Государственного Экзамена, можно ознакомиться на специальной страничке нашего сайта.

Наши учебные пособия для школьников

При подготовке к ЕГЭ и к ОГЭ по математике Вам могут также пригодиться наши учебные пособия.