Наибольший общий делитель. Взаимно простые числа

Содержание

Электронный справочник по математике для школьников арифметика наибольший общий делитель взаимно простые числаОбщий делитель нескольких натуральных чисел. Наибольший общий делитель. Взаимно простые числа
Справочник по математике для школьников арифметика алгоритм нахождения наибольшего общего делителяАлгоритм нахождения наибольшего общего делителя
Электронный справочник по математике для школьников арифметика наибольший общий делитель взаимно простые числа алгоритм нахождения наибольшего общего делителя

Общий делитель нескольких натуральных чисел. Наибольший общий делитель. Взаимно простые числа

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Общим делителем нескольких натуральных чисел называют число, которое является делителем каждого из этих чисел.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Самый большой из общих делителей называют наибольшим общим делителем (НОД).

ПРИМЕР 1. Общими делителями чисел   30 , 45   и   60   будут числа   1 , 3 , 5 , 15 .   Наибольшим общим делителем этих чисел будет

НОД ( 30 , 45 , 10) = 15 .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Если наибольший общий делитель нескольких чисел равен   1 ,   то эти числа называют взаимно простыми.

ПРИМЕР 2. Числа   40   и   3   будут взаимно простыми числами, а числа   56   и   21   не являются взаимно простыми, поскольку у чисел   56   и   21   есть общий делитель  7 ,   который больше, чем   1.

ЗАМЕЧАНИЕ. Если числитель дроби и знаменатель дроби являются взаимно простыми числами, то такая дробь несократима.

Алгоритм нахождения наибольшего общего делителя

Рассмотрим алгоритм нахождения наибольшего общего делителя нескольких чисел на следующем примере.

ПРИМЕР 3. Найти наибольший общий делитель чисел   100, 750   и   800 .

РЕШЕНИЕ. Разложим эти числа на простые множители:

Электронный справочник по математике для школьников арифметика наибольший общий делитель взаимно простые числа алгоритм нахождения наибольшего общего делителя

Простой множитель   2   в первое разложение на множители входит в степени   2 ,   во второе разложение – в степени   1 ,   в третье разложение – в степени   5 .   Обозначим наименьшую из этих степеней буквой   a .   Очевидно, что   a = 1 .

      Простой множитель   3   в первое разложение на множители входит в степени   0   (другими словами, множитель   3   в первое разложение на множители вообще не входит), во второе разложение входит в степени   1 ,   в третье разложение – в степени   0 .   Обозначим наименьшую из этих степеней буквой   b .  Очевидно, что   b = 0 .

Простой множитель   5   в первое разложение на множители входит в степени   2 ,   во второе разложение – в степени   3 ,   в третье разложение – в степени   2 .   Обозначим наименьшую из этих степеней буквой   c .  Очевидно, что   c = 2 .

      Теперь рассмотрим число:

Электронный справочник по математике для школьников арифметика наибольший общий делитель взаимно простые числа алгоритм нахождения наибольшего общего делителя

Это число и есть наибольший общий делитель чисел   100, 750   и   800 .

ОТВЕТ:   50 .

ЗАМЕЧАНИЕ. Чтобы сократить дробь, нужно её числитель и знаменатель разделить на их наибольший общий делитель.

Демонстрационные варианты ЕГЭ и ОГЭ

С демонстрационными вариантами ЕГЭ и ОГЭ по всем предметам, опубликованными на официальном информационном портале Единого Государственного Экзамена, можно ознакомиться на специальной страничке нашего сайта.

Наши учебные пособия для школьников

При подготовке к ЕГЭ и к ОГЭ по математике Вам могут также пригодиться наши учебные пособия.