Учебные материалы по уравнениям математической физики для дистанционных занятий со студентами ФОПФ МФТИ

Учебные материалы по уравнениям математической физики (УМФ, ФОПФ, МФТИ, дистанционные занятия)

На этой странице нашего сайта размещены учебно-методические пособия по уравнениям математической физики, которые использовались при проведении дистанционных занятий со студентами ФОПФ МФТИ в 2020 - 2021 годах.

В отличие от классического курса уравнений математической физики в курсе уравнений математической физики, читаемом для студентов ФОПФ МФТИ, рассматриваются начально-краевые задачи с самосопряженными операторами в гильбертовых пространствах, а также интегральные уравнения с самосопряженными интегральными операторами в гильбертовых пространствах. Большое внимание уделяется поиску обобщенных решений уравнений математической физики, что требует достаточно глубокого владения аппаратом обобщенных функций.

Каждое из учебно-методических пособий содержит теоретические сведения и примеры решения типовых задач по изучаемому разделу уравнений математической физики. Практически все разобранные в учебно-методических пособиях задачи ранее предлагались для решения студентам ФОПФ МФТИ в заданиях для самостоятельной работы и на письменных экзаменационных контрольных работах. В справочной форме приводится необходимая для решения задач теория.

Мы надеемся, что эти учебные материалы будут полезными не только студентам ФОПФ МФТИ, осваивающим курс уравнений математической физики, но и студентам других ВУЗов.

Дистанционное занятие на тему «Самосопряженные интегральные операторы. Решение интегральных уравнений»

Дистанционное занятие посвящено решению интегральных уравнений с самосопряженными интегральными операторами.

Содержание

  1. Компактность и непрерывность интегрального оператора.
  2. Симметричность интегрального оператора.
  3. Самосопряженность интегрального оператора.
  4. Теорема Гильберта-Шмидта.
  5. Примеры решения интегральных уравнений с самосопряженными интегральными операторами.

Дистанционное занятие для студентов ФОПФ МФТИ УМФ самосопряженные интегральные операторы решение интегральных уравненийУчебно-методическое пособие на тему «Самосопряженные интегральные операторы. Решение интегральных уравнений»

Дистанционное занятие на тему «Оператор Штурма-Лиувилля»

Дистанционное занятие посвящено методам решения типовых задач, связанных со свойствами оператора Штурма-Лиувилля.

Содержание

  1. Оператор Штурма-Лиувилля.
  2. Задача Штурма-Лиувилля.
  3. Интегральное ядро оператора Штурма-Лиувилля.
  4. Построение интегрального ядра оператора Штурма-Лиувилля
  5. Сведение задачи Штурма-Лиувилля к интегральному уравнению.
  6. Пример построения оператора, обратного к оператору Штурма-Лиувилля.
  7. Пример построения ортогонального базиса из собственных векторов оператора Штурма-Лиувилля. Спектральное разложение оператора Штурма-Лиувилля

Дистанционное занятие для студентов ФОПФ МФТИ УМФ оператор Штурма-ЛиувилляУчебно-методическое пособие на тему «Оператор Штурма-Лиувилля»

Дистанционное занятие на тему «Начально-краевые задачи для замыкания оператора Лапласа в круге»

Дистанционное занятие посвящено изучению свойств функций Бесселя, поиску собственных функций оператора Лапласа в круге с однородными граничными условиями и методам решения начально-краевых задач для замыкания оператора Лапласа в круге.

Содержание

  1. Формулы Грина.
  2. Уравнение Бесселя.
  3. Приведенная форма уравнения Бесселя.
  4. Функции Бесселя
  5. Нули функций Бесселя.
  6. Пример решения начально-краевой задачи для звмыкания оператора Лапласа в круге (симметричность, отрицательная определенность, поиск собственных значений и собственных функций оператора Лапласа, спектральное разложение замыкания оператора Лапласа, решение типовой начально-краевой задачи методом Фурье).

Дистанционное занятие для студентов ФОПФ МФТИ УМФ функции Бесселя начально-краевая задача для замыкания оператора Лапласа в кругеУчебно-методическое пособие на тему «Начально-краевые задачи для замыкания оператора Лапласа в круге»

Дистанционное занятие на тему «Начально-краевые задачи для замыкания оператора Лапласа в секторе»

Дистанционное занятие посвящено поиску собственных функций оператора Лапласа в секторе с однородными граничными условиями и методам решения начально-краевых задач для замыкания оператора Лапласа в секторе. Рассмотрены симметричность, отрицательная определенность, собственные значения и собственные функции оператора Лапласа в секторе с однородными граничными условиями, спектральное разложение замыкания оператора Лапласа, решение типовой начально-краевой задачи методом Фурье

Дистанционное занятие для студентов ФОПФ МФТИ УМФ начально-краевая задача для замыкания оператора Лапласа в сектореУчебно-методическое пособие на тему «Начально-краевые задачи для замыкания оператора Лапласа в секторе»

Дистанционное занятие на тему «Классическое решение волнового уравнения»

Дистанционное занятие посвящено поиску классических решений задачи Коши для одномерного волнового уравнения (уравнения колебания струны) и для однородного волнового уравнения с начальными условиями специального вида, позволяющими свести задачу к одномерному случаю.

Содержание

  1. Постановка задачи Коши для волнового уравнения в классическом случае.
  2. Общее решение однородного одномерного волнового уравнения (с выводом).
  3. Формула Даламбера (с выводом).
  4. Формула Дюамеля (с выводом).
  5. Решение задачи Коши для многомерного однородного волнового уравнения в случае, когда в начальные данные вектор x входит только в виде скалярного произведения (l,x), где l - фиксированный вектор.
  6. Решение задачи Коши для трехмерного однородного волнового уравнения в случае, когда начальные данные являются сферически симметричными функциями.
  7. Пример решения задачи Коши для трехмерного неоднородного волнового уравнения в случае, когда в правую часть уравнения входят собственные функции оператора Лапласа, а начальные условия являются сферически симметричными функциями.

Дистанционное занятие для студентов ФОПФ МФТИ УМФ классическое решение волнового уравненияУчебно-методическое пособие на тему «Классическое решение волнового уравнения»

Дистанционное занятие на тему «Пространство обобщенных функций S'(Rm)»

На дистанционном занятии вводится пространство основных функций Шварца S(Rm) и пространство обобщенных функций S'(Rm). Рассматривается операция умножения обобщенных функций на бесконечно дифференцируемые функции медленного роста и операция предельного перехода в пространстве S'(Rm).

Содержание

  1. Мультииндексы.
  2. Пространство основных функций Шварца S(Rm).
  3. Пространство обобщенных функций S'(Rm).
  4. Функции медленного роста.
  5. Регулярные и сингулярные функционалы. Дельта-функция.
  6. Умножение обобщенных функций на бесконечно дифференцируемые функции медленного роста.
  7. Функция Дистанционное занятие для студентов ФОПФ МФТИ УМФ пространство обобщенных функций S'
  8. Предельный переход в пространстве S'(Rm).
  9. Формулы Сохоцкого.

Дистанционное занятие для студентов ФОПФ МФТИ УМФ пространство обобщенных функций S'Учебно-методическое пособие на тему «Пространство обобщенных функций S'(Rm)»

Дистанционное занятие на тему «Дифференцирование обобщенных функций»

Дистанционное занятие посвящено решению типовых задач, связанных с дифференцированием обобщенных функций.

Дистанционное занятие для студентов ФОПФ МФТИ УМФ дифференцирование обобщенных функцийУчебно-методическое пособие на тему «Дифференцирование обобщенных функций»

Дистанционное занятие на тему «Решение простейших линейных однородных уравнений в пространстве S'(R)»

Дистанционное занятие посвящено решению типовых задач, связанных с поиском общих решений линейных уравнений вида

P(x)f(x)=0,

где P(x) – заданный многочлен, а f(x)– неизвестная обобщенная функция из пространства S'(R).

Дистанционное занятие для студентов ФОПФ МФТИ УМФ решение линейных однородных уравнений в пространстве обобщенных функцийУчебно-методическое пособие на тему «Решение простейших линейных однородных уравнений в пространстве S'(R)»

Дистанционное занятие на тему «Решение простейших линейных неоднородных уравнений в пространстве S'(R)»

Дистанционное занятие посвящено решению типовых задач, связанных с поиском общих решений простейших линейных неоднородных уравнений в пространстве S'(R).

Дистанционное занятие для студентов ФОПФ МФТИ УМФ решение линейных неоднородных уравнений в пространстве обобщенных функцийУчебно-методическое пособие на тему «Решение простейших линейных неоднородных уравнений в пространстве S'(R)»

Дистанционное занятие на тему «Преобразование Фурье обобщенных функций»

Дистанционное занятие посвящено решению типовых примеров и задач, связанных с преобразованием Фурье обобщенных функций.

Содержание

  1. Определение преобразования Фурье обобщенных функций.
  2. Определение обратного преобразования Фурье обобщенных функций
  3. Свойства преобразования Фурье обобщенных функций
  4. Примеры вычисления преобразования Фурье обобщенных функций в одномерном случае
  5. Вычисление преобразования Фурье регулярного функционала видаДистанционное занятие для студентов ФОПФ МФТИ УМФ преобразование Фурье рациональной дроби специального вида при Дистанционное занятие для студентов ФОПФ МФТИ УМФ преобразование Фурье рациональной дроби специального вида
  6. Примеры вычисления преобразования Фурье в S'(R3)
  7. Примеры вычисления преобразования Фурье в S'(Rm)

Дистанционное занятие для студентов ФОПФ МФТИ УМФ преобразование Фурье обобщенных функцийУчебно-методическое пособие на тему «Преобразование Фурье обобщенных функций»

Дистанционное занятие на тему «Линейные замены в аргументе обобщенной функции»

Дистанционное занятие посвящено решению задач, связанных с линейными заменами переменных в аргументе обобщенной функции.

Дистанционное занятие для студентов ФОПФ МФТИ УМФ линейные замены в аргументе обобщенной функцииУчебно-методическое пособие на тему «Линейные замены в аргументе обобщенной функции»

Дистанционное занятие на тему «О замене переменной в аргументе дельта-функции»

Дистанционное занятие посвящено решению задач, связанных с заменой переменной в аргументе дельта-функции.

Дистанционное занятие для студентов ФОПФ МФТИ УМФ о замене переменной в аргументе дельта-функцииУчебно-методическое пособие на тему «О замене переменной в аргументе дельта-функции»

Дистанционное занятие на тему «Функция Грина линейного дифференциального оператора в одномерном случае»

Дистанционное занятие посвящено решению задач, связанных с поиском функций Грина для линейных дифференциальных операторов в одномерном случае.

Дистанционное занятие для студентов ФОПФ МФТИ УМФ функция Грина линейного дифференциального оператора в одномерном случаеУчебно-методическое пособие на тему «Функция Грина линейного дифференциального оператора в одномерном случае»

Дистанционное занятие на тему «Функция Грина линейного дифференциального оператора в многомерном случае»

Дистанционное занятие посвящено решению задач, связанных с поиском функций Грина для линейных дифференциальных операторов в многомерном случае.

Дистанционное занятие для студентов ФОПФ МФТИ УМФ функция Грина линейного дифференциального оператора в многомерном случаеУчебно-методическое пособие на тему «Функция Грина линейного дифференциального оператора в многомерном случае»

Дистанционное занятие на тему «Свертка обобщенных функций»

Дистанционное занятие посвящено решению задач, связанных с вычислением сверток обобщенных функций.

Содержание

  1. Определение свертки обобщенных функций.
  2. Свойства сверток обобщенных функций
  3. Примеры вычисления сверток обобщенных функций

Дистанционное занятие для студентов ФОПФ МФТИ УМФ свертка обобщенных функцийУчебно-методическое пособие на тему «Свертка обобщенных функций»

Дистанционное занятие на тему «Обобщенная задача Коши для одномерного волнового уравнения»

Дистанционное занятие посвящено вычислению функции Грина одномерного оператора Даламбера и решению обобщенных задач Коши в одномерном случае.

Содержание

  1. Постановка обобщенной задачи Коши для одномерного волнового уравнения.
  2. Вычисление функции Грина одномерного оператора Даламбера.
  3. Свойства решений обобщенных задач Коши для одномерных волновых уравнений.
  4. Примеры решения обобщенных задач Коши для одномерных волновых уравнений.

Дистанционное занятие для студентов ФОПФ МФТИ УМФ обобщенная задача Коши для одномерного волнового уравненияУчебно-методическое пособие на тему «Обобщенная задача Коши для одномерного волнового уравнения»

Дистанционное занятие на тему «Обобщенная задача Коши для трехмерного волнового уравнения»

Дистанционное занятие посвящено вычислению функции Грина трехмерного оператора Даламбера и решению обобщенных задач Коши в трехмерном случае.

Содержание

  1. Постановка обобщенной задачи Коши для трехмерного волнового уравнения.
  2. Вычисление функции Грина трехмерного оператора Даламбера.
  3. Свойства решений обобщенных задач Коши для трехмерных волновых уравнений.
  4. Примеры решения обобщенных задач Коши для трехмерных волновых уравнений.

Дистанционное занятие для студентов ФОПФ МФТИ УМФ обобщенная задача Коши для трехмерного волнового уравненияУчебно-методическое пособие на тему «Обобщенная задача Коши для трехмерного волнового уравнения»

Дистанционное занятие на тему «Обобщенные решения уравнений Пуассона и Гельмгольца»

Дистанционное занятие посвящено вычислению функций Грина операторов Гельмгольца и Лапласа и поиску обобщенных решений уравнений Пуассона и Гельмгольца в трехмерном случае.

Содержание

  1. Вычисление функций Грина для операторов Гельмгольца и Лапласа в пространстве S'(R3).
  2. Свойства обобщенных решений уравнений Пуассона и Гельмгольца в пространстве S'(R3). Объемный потенциал.
  3. Поиск обобщенных решений уравнений Пуассона и Гельмгольца в пространстве S'(R3).

Дистанционное занятие для студентов ФОПФ МФТИ УМФ обобщенные решения уравнений Пуассона и ГельмгольцаУчебно-методическое пособие на тему «Обобщенные решения уравнений Пуассона и Гельмгольца»

Дистанционное занятие на тему «Обобщенная задача Коши для уравнения теплопроводности»

Дистанционное занятие посвящено вычислению функции Грина оператора теплопроводности и решению обобщенных задач Коши для уравнения теплопроводности.

Содержание

  1. Постановка обобщенной задачи Коши для уравнения теплопроводности.
  2. Вычисление функции Грина оператора теплопроводности.
  3. Пример решения обобщенной задачи Коши для уравнения теплопроводности.

Дистанционное занятие для студентов ФОПФ МФТИ УМФ обобщенная задача Коши для уравнения теплопроводностиУчебно-методическое пособие на тему «Обобщенная задача Коши для уравнения теплопроводности»