Измерение углов. Градусы и радианы

Рассмотрим тригонометрические круги, изображенные на рисунке 1 и рисунке 2.

Измерение углов в градусах и в радианах формулы связывающие градусную и радианную меру угла

Рис.1

Измерение углов в градусах и в радианах формулы связывающие градусную и радианную меру угла

Рис.2

На тригонометрическом круге, изображенном на рисунке 1, центральные углы измерены в градусах, а на тригонометрическом круге, изображенном на рисунке 2, те же центральные углы измерены в радианах.

Углом в   1   градус называют угол, составляющий   Измерение углов в градусах и в радианах формулы связывающие градусную и радианную меру угла   полного угла. Углом в     называют угол в   k   раз больший угла в   1° .

Углом в   1   радиан называют центральный угол тригонометрического круга, которому соответствует дуга окружности тригонометрического круга длиной   1 .   Углом в   k   радиан называют центральный угол тригонометрического круга в   k   раз больший угла в   1   радиан.

СЛЕДСТВИЕ 1. Углом в   k   радиан является центральный угол тригонометрического круга, которому соответствует дуга окружности тригонометрического круга длиной   k .

СЛЕДСТВИЕ 2. Полный угол является углом в     радиан.

Для того, чтобы найти формулы, связывающие градусную и радианную меры угла, рассмотрим рисунки 3 и 4

Измерение углов в градусах и в радианах формулы связывающие градусную и радианную меру углаИзмерение углов в градусах и в радианах формулы связывающие градусную и радианную меру угла
Рис.3Рис.4
Измерение углов в градусах и в радианах формулы связывающие градусную и радианную меру угла
Рис.3
Измерение углов в градусах и в радианах формулы связывающие градусную и радианную меру угла
Рис.4

На этих рисунках изображены прямые углы, причем на рисунке 3 прямой угол измерен в градусах и равен   90° ,   а на рисунке 4 прямой угол измерен в радианах и равен Измерение углов в градусах и в радианах формулы связывающие градусную и радианную меру угла радиан. Следовательно,

Измерение углов в градусах и в радианах формулы связывающие градусную и радианную меру угла

Таким образом, формулы, связывающие градусную и радианную меры угла, имеют вид

Измерение углов в градусах и в радианах формулы связывающие градусную и радианную меру угла
Измерение углов в градусах и в радианах формулы связывающие градусную и радианную меру угла

Поскольку Измерение углов в градусах и в радианах формулы связывающие градусную и радианную меру угла, то

Измерение углов в градусах и в радианах формулы связывающие градусную и радианную меру угла
Измерение углов в градусах и в радианах формулы связывающие градусную и радианную меру угла

По этой причине углы, составляющие целое число радиан, изображаются на тригонометрическом круге так, как это показано на рисунке 5.

Измерение углов в градусах и в радианах формулы связывающие градусную и радианную меру угла

Рис.5

ЗАМЕЧАНИЕ. Тригонометрическая формула sin α означает, что рассматривается синус угла в   α   радиан, а тригонометрическая формула   sin α°   означает, что рассматривается синус угла в   α   градусов. По такому же правилу определяются значения косинуса, тангенса и котангенса.

ПРИМЕР. Найти наименьшее из чисел:

Измерение углов в градусах и в радианах формулы связывающие градусную и радианную меру угла

РЕШЕНИЕ. Поскольку

Измерение углов в градусах и в радианах формулы связывающие градусную и радианную меру угла
Измерение углов в градусах и в радианах формулы связывающие градусную и радианную меру угла

то наименьшим числом является число     cos 3 .

Демонстрационные варианты ЕГЭ и ОГЭ

С демонстрационными вариантами ЕГЭ и ОГЭ по всем предметам, опубликованными на официальном информационном портале Единого Государственного Экзамена, можно ознакомиться на специальной страничке нашего сайта.

Наши учебные пособия для школьников

При подготовке к ЕГЭ и к ОГЭ по математике Вам могут также пригодиться наши учебные пособия.