Справочник по математикетригонометрические функции кратных углов вывод с помощью комплексных чиселТригонометрия

 

Тригонометрические функции кратных углов (вывод с помощью комплексных чисел)

Рассмотрим комплексное число

z = cos α + i sin α , (1)

модуль которого равен 1, а аргумент равен α (см. раздел «Комплексные числа» нашего справочника). Если комплексное число (1) возвести в квадрат, то, с одной стороны,

z 2 = cos 2α + i sin 2α , (2)

а, с другой стороны,

z 2 = (cos α + i sin α) 2 = cos 2α + 2i cos α sin α sin 2α , (3)

откуда, приравнивая вещественные и мнимые части комплексных чисел (2) и (3), мы получаем тригонометрические формулы «Косинус двойного угла» и «Синус двойного угла»:

cos 2α = cos 2α – sin 2α ,

sin 2α = 2cos α sin α .

Если же комплексное число (1) возвести в куб, то, с одной стороны,

z 3 = cos 3α + i sin 3α , (4)

а, с другой стороны,

z 3 = (cos α + i sin α) 3 = cos 3α + 3cos 2α (i sin α) + 3cos α (i sin α)2 + (i sin α)3 =

= cos 3 α – 3cos α sin2α + 3i cos2α sin αi sin3α = cos 3 α – 3cos α sin2α + i (3cos2α sin α – sin3α).

(5)

Следовательно,

z 3 = cos 3 α – 3cos α sin2 α + i (3cos 2α sin α – sin3α) ,

откуда, приравнивая вещественные и мнимые части комплексных чисел (4) и (5), мы получаем соотношения

cos 3α = cos3α – 3cos α sin2 α = cos3α3cos α (1 – cos2α) = 4cos3α – 3cos α ,

sin 3α = 3cos2α sin α – sin3α =3(1 – sin2α) sin αsin3α = 3sin α – 4sin3α .

Таким образом,

cos 3α = 4cos3α – 3cos α ,

sin 3α = 3sin α – 4sin3α ,

и вывод тригонометрических формул «Косинус тройного угла» и «Синус тройного угла» завершен.

Совершенно аналогично можно вывести формулы для cos nα и sin nα, где n – произвольное натуральное число.

© «Резольвента - учебные материалы», 2009-2024 

Rambler's Top100  Рейтинг@Mail.ru

Метрика Яндекса
 Яндекс.Метрика