Метод введения дополнительного угла (Метод введения вспомогательного аргумента)

Рассмотрим метод введения дополнительного угла на примере решения следующей задачи.

ЗАДАЧА. Найти наибольшее и наименьшее значения функции

y = sin x + cos x.(1)

РЕШЕНИЕ. Заметив, что

Метод введения дополнительного угла

преобразуем правую часть формулы (1):

Метод введения дополнительного угла
Метод введения дополнительного угла
Метод введения дополнительного угла

Отсюда вытекает, что выражение (1) можно переписать в виде:

Метод введения дополнительного угла

Поскольку

Метод введения дополнительного угла

причем

Метод введения дополнительного угла

то

Метод введения дополнительного угла

Следовательно,

Метод введения дополнительного угла

ОТВЕТ. Наибольшее значение функции (1) равно Метод введения дополнительного угла, наименьшее значение функции (1) равно Метод введения дополнительного угла

ЗАМЕЧАНИЕ. В рассмотренной задаче угол Метод введения дополнительного угла и является дополнительным углом.

Теперь докажем формулу дополнительного угла (вспомогательного аргумента) в общем виде. Для этого рассмотрим выражение

a sin x + bcos x(2)

где a и b – произвольные, отличные от нуля числа, и преобразуем его:

Метод введения дополнительного угла
Метод введения дополнительного угла
Метод введения дополнительного угла
(3)

Введем дополнительный угол (вспомогательный аргумент) φ , у которого:

Метод введения дополнительного угла(4)

В случае, когда a и b являются положительными числами, в качестве дополнительного угла можно взять, например, угол

Метод введения дополнительного угла

Тогда выражение (3) принимает вид:

Метод введения дополнительного угла
Метод введения дополнительного угла
Метод введения дополнительного угла

Таким образом, мы получили формулу

Метод введения дополнительного угла
Метод введения дополнительного угла

которую и называют формулой дополнительного угла (вспомогательного аргумента).

Если же дополнительный угол, в отличие от формул (4), ввести по формулам

Метод введения дополнительного угла

то выражение (3) примет вид

Метод введения дополнительного угла
Метод введения дополнительного угла
Метод введения дополнительного угла

и мы получаем другой вид формулы дополнительного угла:

Метод введения дополнительного угла
Метод введения дополнительного угла

Демонстрационные варианты ЕГЭ и ОГЭ

С демонстрационными вариантами ЕГЭ и ОГЭ по всем предметам, опубликованными на официальном информационном портале Единого Государственного Экзамена, можно ознакомиться на специальной страничке нашего сайта.

Наши учебные пособия для школьников

При подготовке к ЕГЭ и к ОГЭ по математике Вам могут также пригодиться наши учебные пособия.