Делимость натуральных чисел. Деление с остатком. Признаки делимости

Содержание

делимость чисел деление с остаткомДелимость натуральных чисел. Деление с остатком
делимость чисел признаки делимостиПризнаки делимости
Электронный справочник по математике для школьников арифметика делимость чисел признаки делимости

Делимость натуральных чисел. Деление с остатком

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Говорят, что натуральное число   a   делится на натуральное число   b ,   если существует такое натуральное число   c,   что выполняется равенство

a = bc .

В противном случае говорят, что число   a   не делится на число   b.

Число   b   называют делителем числа   a.

Если число   a   больше, чем число   b,   и не делится на число   b,   то число   a   можно разделить на число   b   с остатком.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Деление числа   a   на число   b   с остатком означает, что найдутся такие натуральные числа   c   и   r ,   что выполняются соотношения

a = bc + r,    r < b .

Число   b   называют делителем, число   c   – частным, а число   r   – остатком от деления   a   на   b .

Еще раз особо подчеркнем, что остаток   r   всегда меньше, чем делитель   b .

Например, число   204   не делится на число   5 ,   но, разделив число   204   на   5   с остатком, получаем:

Электронный справочник по математике для школьников арифметика делимость чисел признаки делимости деление с остатком

Таким образом, частное от деления равно   40 ,   а остаток равен   4 .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Числа, делящиеся на   2 ,   называют четными, а числа, которые не делятся на   2 ,   называют нечетными.

Признаки делимости

Для того, чтобы быстро выяснить, делится ли одно натуральное число на другое, существуют признаки делимости.

Признак делимости на 2

Формулировка признака:

Число должно оканчиваться четной цифрой:
0 , 2 , 4 , 6 , 8

Пример:

1258

Признак делимости на 3

Формулировка признака:

Сумма цифр числа должна делиться на   3

Пример:

745 ,
(7 + 4 + 5 = 15)

Признак делимости на 4

Формулировка признака:

Число, образованное двумя последними цифрами, должно делиться на   4

Пример:

7924

Признак делимости на 5

Формулировка признака:

Число должно оканчиваться цифрой   0   или   5

Пример:

835

Признак делимости на 6

Формулировка признака:

Число должно делиться на   2   и на   3

Пример:

234 ,
(2 + 3 + 4 = 9)

Признак делимости на 7

Формулировка признака:

На   7   должно делиться число, полученное вычитанием удвоенной последней цифры из исходного числа с отброшенной последней цифрой

Пример:

3626 ,
(362 – 12 = 350)

Признак делимости на 8

Формулировка признака:

Число, образованное тремя последними цифрами, должно делиться на   8

Пример:

63024

Признак делимости на 9

Формулировка признака:

Сумма цифр должна делиться на   9

Пример:

2574 ,
(2 + 5 + 7 + 4 = 18)

Признак делимости на 10

Формулировка признака:

Число должно оканчиваться   0

Пример:

1690

Признак делимости на 11

Формулировка признака:

Сумма цифр, стоящих на четных местах, либо равна сумме цифр, стоящих на нечетных местах, либо отличается от нее на число, делящееся на   11

Пример:

1408 ,
(4 + 8 = 12 ;
1 + 0 = 1 ;
12 – 1 = 11)

Признак делимости на 13

Формулировка признака:

На   13   должно делиться число, полученное добавлением учетверенной последней цифры к исходному числу с отброшенной последней цифрой

Пример:

299 ,
(29 + 36 = 65)

Признак делимости на 25

Формулировка признака:

Число должно оканчиваться на   00 ,  25 ,  50   или   75

Пример:

7975

Признак делимости на 50

Формулировка признака:

Число должно оканчиваться на   00   или   50

Пример:

2957450

Признак делимости на 100

Формулировка признака:

Число должно оканчиваться на   00

Пример:

102300

Признак делимости на 1000

Формулировка признака:

Число должно оканчиваться на   000

Пример:

3217000

Демонстрационные варианты ЕГЭ и ОГЭ

С демонстрационными вариантами ЕГЭ и ОГЭ по всем предметам, опубликованными на официальном информационном портале Единого Государственного Экзамена, можно ознакомиться на специальной страничке нашего сайта.

Наши учебные пособия для школьников

При подготовке к ЕГЭ и к ОГЭ по математике Вам могут также пригодиться наши учебные пособия.