Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре «Резольвента» (Справочник по математике - Планиметрия - Отрезки и прямые, связанные с окружностью. Теорема о бабочке)
Mосква, Северо-восток

Отрезки и прямые, связанные с окружностью. Теорема о бабочке

Справочник по математике для школьников геометрия планиметрия отрезки прямые связанные с окружностьюОтрезки и прямые, связанные с окружностью
Справочник по математике для школьников геометрия планиметрия свойства хорд дуг окружностиСвойства хорд и дуг окружности
Справочник по математике для школьников геометрия планиметрия теоремы о длинах хорд касательных и секущихТеоремы о длинах хорд, касательных и секущих
Справочник по математике для школьников геометрия планиметрия доказательства теорем о длинах хорд касательных и секущихДоказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих
Справочник по математике для школьников геометрия планиметрия теорема о бабочкеТеорема о бабочке
хорда касательная секущая теорема о бабочке доказательство теорем

Отрезки и прямые, связанные с окружностью

ФигураРисунокОпределение и свойства
ОкружностьОтрезки прямые связанные с окружностью хорда касательная секущая

      Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки - центра окружности

КругОтрезки прямые связанные с окружностью хорда касательная секущая

   Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

РадиусОтрезки прямые связанные с окружностью хорда касательная секущая

      Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

ХордаОтрезки прямые связанные с окружностью хорда касательная секущая

      Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

ДиаметрОтрезки прямые связанные с окружностью хорда касательная секущая

      Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

КасательнаяОтрезки прямые связанные с окружностью хорда касательная секущая

     Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

СекущаяОтрезки прямые связанные с окружностью хорда касательная секущая

      Прямая, пересекающая окружность в двух точках

Окружность
Отрезки прямые связанные с окружностью хорда касательная секущая

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки - центра окружности

Круг
Отрезки прямые связанные с окружностью хорда касательная секущая

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Радиус
Отрезки прямые связанные с окружностью хорда касательная секущая

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

Хорда
Отрезки прямые связанные с окружностью хорда касательная секущая

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

Диаметр
Отрезки прямые связанные с окружностью хорда касательная секущая

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

Касательная
Отрезки прямые связанные с окружностью хорда касательная секущая

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

Секущая
Отрезки прямые связанные с окружностью хорда касательная секущая

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

Свойства хорд и дуг окружности

ФигураРисунокСвойство
Диаметр, перпендикулярный к хордеСвойства хорд и дуг окружностиДиаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.
Диаметр, проходящий через середину хордыДиаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.
Равные хордыСвойства хорд и дуг окружностиЕсли хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.
Хорды, равноудалённые от центра окружностиЕсли хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.
Две хорды разной длиныСвойства хорд и дуг окружностиБольшая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.
Равные дугиСвойства хорд и дуг окружностиУ равных дуг равны и хорды.
Параллельные хордыСвойства хорд и дуг окружностиДуги, заключённые между параллельными хордами, равны.
Диаметр, перпендикулярный к хорде
Свойства хорд и дуг окружности

Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.

Диаметр, проходящий через середину хорды
Свойства хорд и дуг окружности

Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.

Равные хорды
Свойства хорд и дуг окружности

Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.

Хорды, равноудалённые от центра окружности
Свойства хорд и дуг окружности

Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.

Две хорды разной длины
Свойства хорд и дуг окружности

Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.

Равные дуги
Свойства хорд и дуг окружности

У равных дуг равны и хорды.

Параллельные хорды
Свойства хорд и дуг окружности

Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.

Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих

ФигураРисунокТеорема
Пересекающиеся хордыСвойства хорд и дуг окружности

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

теорема о пересекающихся хордах

Посмотреть доказательство

Касательные, проведённые к окружности из одной точкиТеоремы о длинах хорд касательных и секущих

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

AB = AC

Посмотреть доказательство

Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точкиТеоремы о длинах хорд  касательных и секущих

Справедливо равенство

теорема о касательной и секущей

Посмотреть доказательство

Секущие, проведённые из одной точки вне кругаТеоремы о длинах хорд  касательных и секущих

Справедливо равенство:

теорема о двух секущих

Посмотреть доказательство

Пересекающиеся хорды
Свойства хорд и дуг окружности

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

теорема о пересекающихся хордах

Посмотреть доказательство

Касательные, проведённые к окружности из одной точки
Теоремы о длинах хорд касательных и секущих

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

AB = AC

Посмотреть доказательство

Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки
Теоремы о длинах хорд  касательных и секущих

Справедливо равенство

теорема о касательной и секущей

Посмотреть доказательство

Секущие, проведённые из одной точки вне круга
Теоремы о длинах хорд  касательных и секущих

Справедливо равенство:

теорема о двух секущих

Посмотреть доказательство

Пересекающиеся хорды
Свойства хорд и дуг окружности

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

теорема о пересекающихся хордах

Посмотреть доказательство

Касательные, проведённые к окружности из одной точки
Теоремы о длинах хорд касательных и секущих
Теоремы о длинах хорд касательных и секущих

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

AB = AC

Посмотреть доказательство

Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки
Теоремы о длинах хорд  касательных и секущих
Теоремы о длинах хорд  касательных и секущих

Справедливо равенство

теорема о касательной и секущей

Посмотреть доказательство

Секущие, проведённые из одной точки вне круга
Теоремы о длинах хорд  касательных и секущих
Теоремы о длинах хорд  касательных и секущих

Справедливо равенство:

теорема о двух секущих

Посмотреть доказательство

Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих

      Теорема 1 . Предположим, что хорды окружности AB и CD пересекаются в точке E (рис.1).

Доказательства теорем о длинах хорд  касательных и секущих
Доказательства теорем о длинах хорд  касательных и секущих

Рис. 1

      Тогда справедливо равенство

теорема о пересекающихся хордах доказательство

      Доказательство. Заметим, что углы BCD и BAD равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Углы BEC и AED равны как вертикальные. Поэтому треугольники BEC и AED подобны. Следовательно, справедливо равенство

теорема о пересекающихся хордах доказательство

откуда и вытекает требуемое утверждение.

      Теорема 2 . Предположим, что из точки A, лежащей вне круга, к окружности проведены касательная AB и секущая AD (рис.2).

Доказательства теорем о длинах хорд касательных и секущих
Доказательства теорем о длинах хорд касательных и секущих

Рис. 2

      Точка B – точка касания с окружностью, точка C – вторая точка пересечения прямой AD с окружностью. Тогда справедливо равенство

теорема о касательной и секущей

      Доказательство. Заметим, что угол ABC образован касательной AB и хордой BC, проходящей через точку касания B. Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги BC. Поскольку угол BDC является вписанным углом, то величина угла BDC также равна половине угловой величины дуги BC. Следовательно, треугольники ABC и ABD подобны (угол A является общим, углы ABC и BDA равны). Поэтому справедливо равенство

теорема о касательной и секущей доказательство

откуда и вытекает требуемое утверждение.

      Теорема 3 . Предположим, что из точки A, лежащей вне круга, к окружности проведены секущие AD и AF (рис.3).

Доказательства теорем о длинах хорд касательных и секущих
Доказательства теорем о длинах хорд касательных и секущих

Рис. 3

      Точки C и E – вторые точки пересечения секущих с окружностью. Тогда справедливо равенство

теорема о двух секущих

      Доказательство. Проведём из точки A касательную AB к окружности (рис. 4).

Доказательства теорем о длинах хорд  касательных и секущих
Доказательства теорем о длинах хорд  касательных и секущих

Рис. 4

      Точка B – точка касания. В силу теоремы 2 справедливы равенства

теорема о двух секущих доказательство

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема о бабочке

      Теорема о бабочке. Через середину G хорды EF некоторой окружности проведены две произвольные хорды AB и CD этой окружности. Точки K и L – точки пересечения хорд AC и BD с хордой EF соответственно (рис.5). Тогда отрезки GK и GL равны.

Теорема о бабочке доказательство
Теорема о бабочке доказательство

Рис. 5

      Доказательство. Существует много доказательств этой теоремы. Изложим доказательство, основанное на теореме синусов, которое, на наш взгляд, является наиболее наглядным. Для этого заметим сначала, что вписанные углы A и D равны, поскольку опираются на одну и ту же дугу. По той же причине равны и вписанные углы C и B. Теперь введём следующие обозначения:

Теорема о бабочке доказательство
Теорема о бабочке доказательство

      Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику CKG, получим

Теорема о бабочке доказательство
Теорема о бабочке доказательство
(1)

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику AKG, получим

Теорема о бабочке доказательство
Теорема о бабочке доказательство
(2)

Воспользовавшись теоремой 1, получим

Теорема о бабочке доказательство
Теорема о бабочке доказательство

Воспользовавшись равенствами (1) и (2), получим

Теорема о бабочке доказательство
Теорема о бабочке доказательство

Поэтому

Теорема о бабочке доказательство
Теорема о бабочке доказательство
Теорема о бабочке доказательство

      Проводя совершенно аналогичные рассуждения для треугольников BGL и DGL, получим равенство

Теорема о бабочке доказательство

откуда вытекает равенство

x = y ,

что и завершает доказательство теоремы о бабочке.

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре Резольвента

      На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

    Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными».

Запись по телефону (495) 509-28-10

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ или ОГЭ по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит

хорда касательная секущая теорема о бабочке доказательство теоремподготовительные курсы для школьников 8, 9, 10 и 11 классов

      У нас также для школьников организованы

хорда касательная секущая теорема о бабочке доказательство теореминдивидуальные занятия с репетиторами по математике и русскому языку

МОСКВА, СВАО, Учебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

До ЕГЭ по математике осталось
днейчасовминутсекунд

НАШИ УСЛУГИ
Подготовительные курсы к ОГЭ и ЕГЭ
Подготовка к итоговому сочинению
Репетиторы
для школьников
НАШИ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Справочник
по математике
для школьников
Наши учебные пособия
ОФИЦИАЛЬНЫЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Демонстрационные варианты ОГЭ
Демонстрационные варианты ЕГЭ

Проблемы с
математикой?

ПОМОЖЕМ!

(495) 509-28-10

Подготовка к ОГЭ и к ЕГЭ по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


ОГЭ по русскому языку?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ОГЭ и к ЕГЭ по русскому языкуУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

Сложно с геометрией?

ПРИХОДИТЕ!

(495) 509-28-10

Помощь школьникам 8 9 10 11 классов по геометрииУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


ЕГЭ по математике?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ОГЭ и к ЕГЭ по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»




ЕГЭ
по русскому языку?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ЕГЭ по русскому языкуУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


Готовитесь
к ЕГЭ?

(495) 509-28-10
Учебные материалы для подготовки к ЕГЭУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


Как решать задачи
по математике?

(495) 509-28-10
Репетиторы по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


Проблемы с
математикой?

ПОМОЖЕМ!

(495) 509-28-10

Подготовка к ОГЭ и к ЕГЭ по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»




НАШИ УСЛУГИ
Подготовительные курсы к ОГЭ и ЕГЭ
Подготовка к итоговому сочинению
Репетиторы
для школьников
НАШИ ПАРТНЕРЫ

Rambler's Top100    Рейтинг@Mail.ru 

Метрика Яндекса
Яндекс.Метрика