Справочник по математике

Геометрия (Планиметрия)

Треугольники

Подобные треугольники. Признаки подобия треугольников

Подобные треугольники

Признаки подобия треугольников

Признаки подобия прямоугольных треугольников

Подобные треугольники

      Рассмотрим два треугольника KLM и TRP (рис.1) и введём следующие обозначения.

Рис.1

      Обозначим

a₁ ,   b₁ ,   c₁

длины сторон треугольника   KLM,   расположенные в порядке возрастания.

      Обозначим

a₂ ,   b₂ ,   c₂

длины сторон треугольника   TRP,   расположенные в порядке возрастания.

      Переобозначим вершины треугольников   KLM   и   TRP   так, как показано на рисунке 2.

Рис.2

      На рисунке 2 треугольник   KLM   обозначается как треугольник   A₁B₁C₁,   а треугольник   TRP   обозначается как треугольник   A₂B₂C₂.

      Определение 1. В треугольниках   A₁B₁C₁   и   A₂B₂C₂,   изображённых на рисунке 2,

      Определение 2. Треугольники   A₁B₁C₁   и   A₂B₂C₂   называют подобными треугольниками, если их сходственные углы равны, а сходственные стороны пропорциональны.

      Другими словами, треугольники   A₁B₁C₁   и   A₂B₂C₂   подобны, если, во-первых,

а, во-вторых, существует положительное число k, такое, что справедливы равенства:

      Определение 3. В случае, когда треугольники   A₁B₁C₁   и   A₂B₂C₂   подобны, число k, заданное формулами (1), называют коэффициентом подобия треугольников   A₁B₁C₁   и   A₂B₂C₂ .

Признаки подобия треугольников

Признак подобия треугольников по двум сторонам и углу между ними

Формулировка признака подобия: Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, заключённые между этими сторонами равны, то такие треугольники подобны.

Признак подобия треугольников по двум углам

Формулировка признака подобия: Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Признак подобия треугольников по трём сторонам

Формулировка признака подобия: Если стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны

Признаки подобия прямоугольных треугольников

Признак подобия прямоугольных треугольников по двум катетам

Формулировка признака подобия прямоугольных треугольников: Если два катета одного прямоугольного треугольника пропорциональны двум катетам другого прямоугольного треугольника, то такие прямоугольные треугольники подобны.

Признак подобия прямоугольных треугольников по острому углу

Формулировка признака подобия прямоугольных треугольников: Если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие прямоугольные треугольники подобны.

Признак подобия прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету

Формулировка признака подобия прямоугольных треугольников: Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника пропорциональны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие прямоугольные треугольники подобны.

      Следствие 1. Прямая, пересекающая треугольник и параллельная стороне треугольника, отсекает от этого треугольника подобный треугольник (рис. 3).

Рис.3

      Следствие 2. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия (рис. 4)

Рис.4

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.