Теорема Фалеса

      Теорема Фалеса. Через произвольные точки

A1A2,  …   An–1An,

лежащие на стороне AO угла AOB (рис.1), проведены параллельные прямые, пересекающие сторону угла OB в точках

B1B2,  …  Bn–1Bn,

соответственно. Тогда справедливы равенства

Теорема Фалеса доказательство
Теорема Фалеса доказательство

Теорема Фалеса доказательство
Теорема Фалеса доказательство

Рис.1

      Доказательство. Докажем сначала следующую лемму.

      Лемма. Через произвольную точку C, лежащую на стороне OA треугольника OAB, проведена прямая, параллельная прямой AB и пересекающая сторону OB в точке D (рис.2).

Теорема Фалеса доказательство
Теорема Фалеса доказательство

Рис.2

      Тогда справедливо равенство

Теорема Фалеса доказательство(1)

      Доказательство леммыОпустим из точек A и B перпендикуляры AK и BL на прямую CD (рис.3). Заметим, что эти перпендикуляры равны, поскольку AKLB – прямоугольникпрямоугольник.

Теорема Фалеса доказательство
Теорема Фалеса доказательство

Рис.3

      Из точки D опустим перпендикуляр DF на прямую OA (рис.4).

Теорема Фалеса доказательство
Теорема Фалеса доказательство

Рис.4

      Из точки C  опустим перпендикуляр CG на прямую OB (рис.5).

Теорема Фалеса доказательство
Теорема Фалеса доказательство

Рис.5

      В соответствии с рисунком 4 площади треугольников OCD и ACD можно вычислить по формулам

Теорема Фалеса доказательство
Теорема Фалеса доказательство

      Следовательно,

Теорема Фалеса доказательство

      В соответствии с рисунком 5 площади треугольников OCD и BCD можно вычислить по формулам

Теорема Фалеса доказательство
Теорема Фалеса доказательство

      Следовательно,

Теорема Фалеса доказательство

      Кроме того, заметим, что площади треугольников ACD и BCD равны. Действительно, в соответствии с рисунком 3 справедливы формулы

Теорема Фалеса доказательство
Теорема Фалеса доказательство

      Следовательно,

SΔ ACD = SΔ BCD ,

откуда получаем цепочку равенств

Теорема Фалеса доказательство

что и завершает доказательство леммы.

      Воспользовавшись леммой, заметим (рис.1), что из равенства (1) вытекают равенства

Теорема Фалеса доказательство
Теорема Фалеса доказательство

откуда на основе свойств производных пропорций, заключаем, что справедливы равенства

Теорема Фалеса доказательство
Теорема Фалеса доказательство

что и завершает доказательство теоремы Фалеса.

      Следствие. Если через точки

A1A2,  …   An–1An,

лежащие на стороне AO угла AOB (рис.6) и удовлетворяющие условию

A1A2 = A2A3 = … =
=
An–2 An–1 = An–1An ,

проведены параллельные прямые, пересекающие сторону угла OB в точках

B1B2,  …   Bn –1Bn ,

соответственно, то справедливы равенства

B1B2 = B2B3 = … =
=
Bn–2Bn–1 = Bn–1Bn ,

Теорема Фалеса доказательство
Теорема Фалеса доказательство

Рис.6

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре Резольвента

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

До ЕГЭ по математике осталось
днейчасовминутсекунд

НАШИ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Справочник
по математике
для школьников
Наши учебные пособия







НАШИ ПАРТНЕРЫ

Rambler's Top100    Рейтинг@Mail.ru 

Метрика Яндекса
Яндекс.Метрика