![]() |
![]() |
Определение 1. Параболой называют график функции
y = a x2 , | (1) |
где a – любое число, не равное нулю. Точку О (0;0) называют вершиной параболы (1).
При a > 0 и a < 0 график функции (1) изображён на рисунках 1 и 2 соответственно.
![]() |
Рис.1 |
![]() |
Рис.2 |
![]() |
Рис.1 |
![]() |
Рис.2 |
Функция (1) обладает следующими свойствами:
y (x) = y (– x) ;
Рассмотрим теперь функцию, заданную формулой
y = a x2 + b x + c , | (2) |
где a, b, c – любые числа, но число a не равно нулю.
Поскольку выражение, стоящее в правой части формулы (2), является квадратным трёхчленом, то, в соответствии с материалом, изложенным в разделе «Квадратные уравнения», формулу (2) можно переписать в виде
![]() | (3) |
Из формулы (3) вытекает, что график функции (2) может быть получен из графиков, изображенных на рисунках 1 или 2 (в зависимости от знака числа a) при помощи параллельного переноса, в результате которого вершина параболы (1) передвигается из начала координат в точку V (рис. 3, 4) с координатами
![]() | (4) |
![]() | ![]() |
Рис.3 | Рис.4 |
![]() |
Рис.3 |
![]() |
Рис.4 |
![]() |
Рис.3 |
![]() |
Рис.4 |
Поскольку дискриминант квадратного трёхчлена вычисляется по формуле
D = b2 – 4ac , | (5) |
то координаты вершины параболы (3), определяемые по формуле (4), можно записать так:
![]() | (6) |
Замечание. При a > 0 ветви параболы (2) направлены вверх, при a < 0 ветви параболы (2) направлены вниз. Парабола (2) пересекает ось ординат в точке с координатами (0; c).
Зная расположение параболы (2) на координатной плоскости, можно, в частности, решать квадратные неравенства
как показано в следующей таблице.
![]() | ||||||||||||||||
![]() | ||||||||||||||||
![]() | ||||||||||||||||
![]() | ||||||||||||||||
![]() | ||||||||||||||||
![]() |
Знаки чисел a и D: a > 0, D > 0 |
Корни уравнения a x2 + b x + c = 0 : |
два различных корня: x1 и x2 |
Расположение вершины: |
под осью Ox |
Пересечения с осью Ox : |
в точках x1 и x2 |
Решение неравенства a x2 + b x + c > 0 : |
![]() |
Решение неравенства![]() |
![]() |
Решение неравенства a x2 + b x + c < 0 : |
![]() |
Решение неравенства![]() |
![]() |
![]() ![]() |
Знаки чисел a и D: a > 0, D = 0 |
Корни уравнения a x2 + b x + c = 0 : |
два совпавших корня: x1 = x2 |
Расположение вершины: |
лежит на оси Ox |
Пересечения с осью Ox : |
касается в точке x1 |
Решение неравенства a x2 + b x + c > 0 : |
![]() |
Решение неравенства![]() |
![]() |
Решение неравенства a x2 + b x + c < 0 : |
![]() |
Решение неравенства![]() |
x = x1 |
![]() ![]() |
Знаки чисел a и D: a > 0, D < 0 |
Корни уравнения a x2 + b x + c = 0 : |
корней нет |
Расположение вершины: |
над осью Ox |
Пересечения с осью Ox : |
не пересекает |
Решение неравенства a x2 + b x + c > 0 : |
![]() |
Решение неравенства![]() |
![]() |
Решение неравенства a x2 + b x + c < 0 : |
![]() |
Решение неравенства![]() |
![]() |
![]() ![]() |
Знаки чисел a и D: a < 0, D > 0 |
Корни уравнения a x2 + b x + c = 0 : |
два различных корня: x1 и x2 |
Расположение вершины: |
над осью Ox |
Пересечения с осью Ox : |
в точках x1 и x2 |
Решение неравенства a x2 + b x + c > 0 : |
![]() |
Решение неравенства![]() |
![]() |
Решение неравенства a x2 + b x + c < 0 : |
![]() |
Решение неравенства![]() |
![]() |
![]() ![]() |
Знаки чисел a и D: a < 0, D = 0 |
Корни уравнения a x2 + b x + c = 0 : |
два совпавших корня: x1 = x2 |
Расположение вершины: |
лежит на оси Ox |
Пересечения с осью Ox : |
касается в точке x1 |
Решение неравенства a x2 + b x + c > 0 : |
![]() |
Решение неравенства![]() |
x = x1 |
Решение неравенства a x2 + b x + c < 0 : |
![]() |
Решение неравенства![]() |
![]() |
![]() ![]() |
Знаки чисел a и D: a < 0, D < 0 |
Корни уравнения a x2 + b x + c = 0 : |
корней нет |
Расположение вершины: |
под осью Ox |
Пересечения с осью Ox : |
не пересекает |
Решение неравенства a x2 + b x + c > 0 : |
![]() |
Решение неравенства![]() |
![]() |
Решение неравенства a x2 + b x + c < 0 : |
![]() |
Решение неравенства![]() |
![]() |
![]() ![]() |
На нашем сайте можно также ознакомиться нашимиучебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.
До ЕГЭ по математике осталось | |||
дней | часов | минут | секунд |