Площадь круга и его частей. Длина окружности и ее дуг

Справочник по математике для школьников геометрия планиметрия длина окружности дуги площадь круга число пиОсновные определения и свойства. Число π
Справочник по математике для школьников геометрия планиметрия формулы для площади круга и его частейФормулы для площади круга и его частей
Справочник по математике для школьников геометрия планиметрия формулы для длины окружности и ее дугФормулы для длины окружности и ее дуг
Справочник по математике для школьников геометрия планиметрия площадь кругаПлощадь круга
Справочник по математике для школьников геометрия планиметрия длина окружностиДлина окружности
Справочник по математике для школьников геометрия планиметрия длина дугиДлина дуги
Справочник по математике для школьников геометрия планиметрия площадь сектораПлощадь сектора
Справочник по математике для школьников геометрия планиметрия площадь сегментаПлощадь сегмента
Длина окружности дуги площадь круга сектора сегмента число пи

Основные определения и свойства

ФигураРисунокОпределения и свойства
ОкружностьДлина окружности дуги площадь круга сектора сегмента число пи

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки - центра окружности

ДугаДлина окружности дуги площадь круга сектора сегмента число пи

Часть окружности, расположенная между двумя точками окружности

КругДлина окружности дуги площадь круга сектора сегмента число пи

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

СекторДлина окружности дуги площадь круга сектора сегмента число пи

Часть круга, ограниченная двумя радиусами

СегментДлина окружности дуги площадь круга сектора сегмента число пи

Часть круга, ограниченная хордой

Правильный многоугольникДлина окружности дуги площадь круга сектора сегмента число пи

Выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны

Длина окружности дуги площадь круга сектора сегмента число пи

Около любого правильного многоугольника можно описать окружность

Окружность
Длина окружности дуги площадь круга сектора сегмента число пи

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки - центра окружности

Дуга
Длина окружности дуги площадь круга сектора сегмента число пи

Часть окружности, расположенная между двумя точками окружности

Круг
Длина окружности дуги площадь круга сектора сегмента число пи

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Сектор
Длина окружности дуги площадь круга сектора сегмента число пи

Часть круга, ограниченная двумя радиусами

Сегмент
Длина окружности дуги площадь круга сектора сегмента число пи

Часть круга, ограниченная хордой

Правильный многоугольник
Длина окружности дуги площадь круга сектора сегмента число пи

Выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны

Длина окружности дуги площадь круга сектора сегмента число пи

Около любого правильного многоугольника можно описать окружность

      Определение 1. Площадью круга называют предел, к которому стремятся площади правильных многоугольников, вписанных в круг, при неограниченном возрастании числа сторон.

      Определение 2. Длиной окружности называют предел, к которому стремятся периметры правильных многоугольников, вписанных в круг, при неограниченном возрастании числа сторон.

      Замечание 1. Доказательство того, что пределы площадей и периметров правильных многоугольников, вписанных в круг, при неограниченном возрастании числа сторон действительно существуют, выходит за рамки школьной математики и в нашем справочнике не приводится.

      Определение 3. Числом π (пи) называют число, равное площади круга радиуса 1.

      Замечание 2. Число π является иррациональным числом, т.е. числом, которое выражается бесконечной непериодической десятичной дробью:

Длина окружности дуги площадь круга сектора сегмента число пи

      Число π является трансцендентным числом, то есть числом, которое не может быть корнем алгебраического уравнения с целочисленными коэффициентами.

Формулы для площади круга и его частей

Числовая характеристикаРисунокФормула
Площадь кругаДлина окружности дуги площадь круга сектора сегмента число пи

Формулы для площади круга сектора сегмента,

где R – радиус круга, D – диаметр круга

Посмотреть доказательство

Площадь сектораДлина окружности дуги площадь круга сектора сегмента число пи

Формулы для площади круга сектора сегмента,

если величина угла α выражена в радианах

Посмотреть доказательство

Формулы для площади круга сектора сегмента,

если величина угла α выражена в градусах

Посмотреть доказательство

Площадь сегментаДлина окружности дуги площадь круга сектора сегмента число пи

Формулы для площади круга сектора сегмента,

если величина угла α выражена в радианах

Посмотреть доказательство

Формулы для площади круга сектора сегмента,

если величина угла α выражена в градусах

Посмотреть доказательство

Площадь круга
Длина окружности дуги площадь круга сектора сегмента число пи

Формулы для площади круга сектора сегмента,

где R – радиус круга, D – диаметр круга

Посмотреть доказательство

Площадь сектора
Длина окружности дуги площадь круга сектора сегмента число пи

Формулы для площади круга сектора сегмента,

если величина угла α выражена в радианах

Посмотреть доказательство

* * *

Формулы для площади круга сектора сегмента,

если величина угла α выражена в градусах

Посмотреть доказательство

Площадь сегмента
Длина окружности дуги площадь круга сектора сегмента число пи

Формулы для площади круга сектора сегмента,

если величина угла α выражена в радианах

Посмотреть доказательство

* * *

Формулы для площади круга сектора сегмента,

если величина угла α выражена в градусах

Посмотреть доказательство

Формулы для длины окружности и её дуг

Числовая характеристикаРисунокФормула
Длина окружностиДлина окружности дуги площадь круга сектора сегмента число пи

C = R = π D,

где R – радиус круга, D – диаметр круга

Посмотреть доказательство

Длина дугиДлина окружности дуги площадь круга сектора сегмента число пи

L(α) = αR,

если величина угла α выражена в радианах

Посмотреть доказательство

Формулы для длины окружности и её дуг,

если величина угла α выражена в градусах

Посмотреть доказательство

Длина окружности
Длина окружности дуги площадь круга сектора сегмента число пи

C = R = π D,

где R – радиус круга, D – диаметр круга

Посмотреть доказательство

Длина дуги
Длина окружности дуги площадь круга сектора сегмента число пи

L(α) = αR,

если величина угла α выражена в радианах

Посмотреть доказательство

* * *

Формулы для длины окружности и её дуг,

если величина угла α выражена в градусах

Посмотреть доказательство

Площадь круга

      Рассмотрим две окружности с общим центром (концентрические окружности) и радиусами радиусами 1 и R, в каждую из которых вписан правильный   n – угольник (рис. 1).

      Обозначим через O общий центр этих окружностей. Пусть внутренняя окружность имеет радиус 1.

Формулы для площади круга сектора сегмента число пи

Рис.1

      Площадь правильного n – угольника, вписанного в окружность радиуса R, равна

Формулы для площади круга сектора сегмента число пи
Формулы для площади круга сектора сегмента число пи

      Площадь правильного n – угольника, вписанного в окружность радиуса 1, равна

Формулы для площади круга сектора сегмента число пи
Формулы для площади круга сектора сегмента число пи

      Следовательно,

Формулы для площади круга сектора сегмента число пи

      Поскольку при увеличении n площадь правильного n – угольника, вписанного в окружность радиуса 1, стремится к π, то при увеличении n площадь правильного n – угольника, вписанного в окружность радиуса R, стремится к числу   πR2.

      Таким образом, площадь круга радиуса R, обозначаемая S, равна

S = πR2.

Длина окружности

      Рассмотрим правильный   n – угольник   B1B2Bn , вписанный в окружность радиуса радиуса R, и опустим из центраO окружности перпендикуляры на все стороны многоугольника (рис. 2).

Формулы для длины окружности и её дуг число пи

Рис.2

      Поскольку площадь n – угольника   B1B2Bn   равна

Формулы для длины окружности и её дуг число пи
Формулы для длины окружности и её дуг число пи

то, обозначая длину окружности радиуса R буквой C, мы, в соответствии с определением 2, при увеличении n получаем равенство:

Формулы для длины окружности и её дуг число пи

откуда вытекает формула для длины окружности радиуса R:

C = R.

      Следствие. Длина окружности радиуса 1 равна   2π.

Длина дуги

      Рассмотрим дугу окружности, изображённую на рисунке 3, и обозначим её длину символом L(α), где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.

Длина окружности дуги площадь круга сектора сегмента число пи

Рис.3

      В случае, когда величина α выражена в градусах, справедлива пропорция

Формулы для длины окружности и её дуг число пи

из которой вытекает равенство:

Формулы для длины окружности и её дуг число пи

      В случае, когда величина α выражена в радианах, справедлива пропорция

Формулы для длины окружности и её дуг число пи

из которой вытекает равенство:

Формулы для длины окружности и её дуг число пи

Площадь сектора

      Рассмотрим круговой сектор, изображённый на рисунке 4, и обозначим его площадь символом S (α) , где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.

Длина окружности дуги площадь круга сектора сегмента число пи

Рис.4

      В случае, когда величина α выражена в градусах, справедлива пропорция

Формулы для площади круга сектора сегмента число пи

из которой вытекает равенство:

Формулы для площади круга сектора сегмента число пи

      В случае, когда величина α выражена в радианах, справедлива пропорция

Формулы для площади круга сектора сегмента число пи

из которой вытекает равенство:

Формулы для площади круга сектора сегмента число пи

Площадь сегмента

      Рассмотрим круговой сегмент, изображённый на рисунке 5, и обозначим его площадь символом S (α), где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.

Длина окружности дуги площадь круга сектора сегмента число пи

Рис.5

      Поскольку площадь сегмента равна разности площадей кругового сектора MON и треугольника MON (рис.5), то в случае, когда величина α выражена в градусах, получаем

Формулы для площади круга сектора сегмента число пи
Формулы для площади круга сектора сегмента число пи

      Следовательно,

Формулы для площади круга сектора сегмента число пи

      В случае, когда величина α выражена в в радианах, получаем

Формулы для площади круга сектора сегмента число пи
Формулы для площади круга сектора сегмента число пи

      Следовательно,

Формулы для площади круга сектора сегмента число пи

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре Резольвента

      На сайте можно также ознакомиться с нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

До ЕГЭ по математике осталось
днейчасовминутсекунд

НАШИ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Справочник
по математике
для школьников
Наши учебные пособия
ОФИЦИАЛЬНЫЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Демонстрационные варианты ОГЭ
Демонстрационные варианты ЕГЭ








Готовитесь
к ЕГЭ?

(495) 509-28-10
Учебные материалы для подготовки к ЕГЭУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»











НАШИ ПАРТНЕРЫ

Rambler's Top100    Рейтинг@Mail.ru 

Метрика Яндекса
Яндекс.Метрика