Теорема Менелая

      Теорема Менелая 1. Если на сторонах AB и BC треугольника ABC взяты соответственно точки C1 и A1, а точка B1 взята на продолжении стороны AC за точку C (рис.1), то точки C1, A1 и B1 лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда выполнено равенство

Теорема Менелая доказательство применения.(1)
Теорема Менелая доказательство применения
Теорема Менелая доказательство применения

Рис.1

      Доказательство необходимости. Докажем, что если точки   C1, A1 и B1 лежат на одной прямой, то выполнено равенство (1). Для этого проведём через точку C прямую, параллельную прямой AB, и обозначим буквой D её точку пересечения с прямой C1B1 (рис.2).

Теорема Менелая доказательство применения
Теорема Менелая доказательство применения

Рис.2

      Поскольку треугольник AC1B1 подобен треугольнику CDB1, то выполнено равенство

Теорема Менелая доказательство применения(2)

      Поскольку треугольник C1BA1 подобен треугольнику A1DC, то выполнено равенство

Теорема Менелая доказательство применения(3)

      Перемножая равенства (2) и (3), получим

Теорема Менелая доказательство применения
Теорема Менелая доказательство применения
Теорема Менелая доказательство применения

      Доказательство необходимости завершено.

      Доказательство достаточности. Докажем, что если выполнено равенство (1), то точки C1, A1 и   B1 лежат на одной прямой. Воспользуемся методом «от противного». С этой целью проведём прямую через точки C1 и A1 и обозначим символом B2 точку пересечения этой прямой с прямой AC (рис. 3).

Теорема Менелая доказательство применения
Теорема Менелая доказательство применения

Рис.3

      Поскольку точки C1, A1 и B2 лежат на одной прямой, то выполнено равенство

Теорема Менелая доказательство применения.(4)

      Кроме того, выполнено равенство

Теорема Менелая доказательство применения.(1)

      Разделив равенство (4) на равенство (1), получим равенство

Теорема Менелая доказательство применения

следствием которого является равенство

Теорема Чевы доказательство применения(5)

      Воспользовавшись свойствами производных пропорций, из равенства (5) получаем, что точки B1  и B2 совпадают.

      Доказательство достаточности завершено.

      Теорема Менелая 1 доказана.

      Замечание. Если чуть-чуть изменить формулировку теоремы Менелая 1, выбрав точку B1 на продолжении стороны AC за точку A (рис.4), то доказательство теоремы Менелая практически не изменится, и мы предоставляем его читателю в качестве упражнения.

Теорема Менелая доказательство применения
Теорема Менелая доказательство применения

Рис.4

      Теорема Менелая 2. Если на продолжениях сторон AB, BC и AC треугольника ABC взяты соответственно точки C1, A1 и B1 (рис.5), то точки C1, A1 и B1 лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда выполнено равенство

Теорема Менелая доказательство применения.(6)
Теорема Менелая доказательство применения
Теорема Менелая доказательство применения

Рис.5

      Замечание. Доказательство теоремы Менелая 2 почти дословно повторяет доказательство теоремы Менелая 1, и мы оставляем его читателю в качестве упражнения.

      Для того, чтобы показать, как можно применять теорему Менелая, решим следующую задачу.

      Задача. На сторонах AB и BC треугольника ABC взяты точки D и E соответственно, причем

Теорема Менелая доказательство применения

Отрезки AE и CD пересекаются в точке F (рис.6). В каком отношении отрезки AE и CD делятся точкой F?

Теорема Менелая доказательство применения

Рис.6

      Решение. Применив к треугольнику BCD теорему Менелая (рис. 7),

Теорема Менелая доказательство применения

Рис.7

получим

Теорема Менелая доказательство применения
Теорема Менелая доказательство применения

      Применив к треугольнику ABE теорему Менелая (рис. 8),

Теорема Менелая доказательство применения

Рис.8

получим

Теорема Менелая доказательство применения
Теорема Менелая доказательство применения

      Ответ:

Теорема Менелая доказательство применения

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре Резольвента

      На сайте можно также ознакомиться с нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

До ЕГЭ по математике осталось
днейчасовминутсекунд

НАШИ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Справочник
по математике
для школьников
Наши учебные пособия







НАШИ ПАРТНЕРЫ

Rambler's Top100    Рейтинг@Mail.ru 

Метрика Яндекса
Яндекс.Метрика