e-mail: resolventa@list.ru
Mосква, Северо-восток
Подготовка школьников, студентов и аспирантов к экзаменам по математике
Помощь студентам
Помощь аспирантам
Вакансии в учебном центр Резольвента
Поиск по сайту:
До ЕГЭ по математике осталось
дней часов минут секунд


НАШИ УСЛУГИ
Подготовительные курсы к ОГЭ (ГИА) и ЕГЭ
Подготовка к итоговому сочинению
Репетиторы
для школьников
НАШИ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Справочник
по математике
для школьников
Наши учебные пособия


Проблемы с
математикой?

(495) 509-28-10
Подготовка к ОГЭ (ГИА) и к ЕГЭ по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»




Сложно с геометрией?

(495) 509-28-10
Помощь школьникам 8 9 10 11 классов по геометрииУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


ЕГЭ
по русскому языку?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ЕГЭ по русскому языкуУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»




правильные многоугольники формулы стороны периметра площади правильного многоугольника треугольника квадрата шестиугольникаЕГЭ 2018. Математика. Базовый уровень. Типовые тестовые задания. 50 вариантов заданий - Ященко И.В.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
правильные многоугольники формулы стороны периметра площади правильного многоугольника треугольника квадрата шестиугольникаОГЭ 2016. Математика. Комплекс материалов для подготовки учащихся (совместно с ФИПИ) - Ященко И.В.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
правильные многоугольники формулы стороны периметра площади правильного многоугольника треугольника квадрата шестиугольника Тренировоч- ные упражнения по математике. Профильный уровень - Балаян Э.Н.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
правильные многоугольники формулы стороны периметра площади правильного многоугольника треугольника квадрата шестиугольникаОГЭ 2016. Математика. 9 класс. Три модуля: "Алгебра", "Геометрия", "Реальная математика". Тематические тестовые задания - Глазков Ю.А.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
правильные многоугольники формулы стороны периметра площади правильного многоугольника треугольника квадрата шестиугольника ЕГЭ 2016. Математика. Задачи с параметром. Задача 18 (профильный уровень). Рабочая тетрадь. ФГОС - Шестаков С.А.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
правильные многоугольники формулы стороны периметра площади правильного многоугольника треугольника квадрата шестиугольникаОГЭ. Математика. 9 класс. Три модуля: "Алгебра", "Геометрия", "Реальная математика". Тематичес- кие тестовые задания. Супертренинг - Лаппо Л.Д.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
правильные многоугольники формулы стороны периметра площади правильного многоугольника треугольника квадрата шестиугольникаГотовимся к ЕГЭ. Математика. Диагностичес- кие работы в формате ЕГЭ 2015. Базовый уровень
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
правильные многоугольники формулы стороны периметра площади правильного многоугольника треугольника квадрата шестиугольника ЕГЭ по математике. Геометрия. Практическая подготовка. Учебное пособие - Черняк А.А.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
правильные многоугольники формулы стороны периметра площади правильного многоугольника треугольника квадрата шестиугольника Математика. Базовый уровень ОГЭ-2015. Пособие для "чайников". Модуль 2. Геометрия - Лысенко Ф.Ф.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
правильные многоугольники формулы стороны периметра площади правильного многоугольника треугольника квадрата шестиугольникаЕГЭ-2016. Математика. 30 вариантов экзаменацион- ных работ для подготовки к ЕГЭ. Базовый уровень
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
правильные многоугольники формулы стороны периметра площади правильного многоугольника треугольника квадрата шестиугольникаПодготовка к ЕГЭ по математике в 2016 году. Профильный уровень. 19 задач. Методические указания. ФГОС - Ященко И.В.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
правильные многоугольники формулы стороны периметра площади правильного многоугольника треугольника квадрата шестиугольникаЕГЭ 2016. Математика. Эксперт. Подготовка к ЕГЭ - Лаппо Л.Д.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
правильные многоугольники формулы стороны периметра площади правильного многоугольника треугольника квадрата шестиугольникаЕГЭ. Математика. Задание 21. Решение задач и уравнений в целых числах - Садовничий Ю.В.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru


ОГЭ (ГИА) по русскому языку?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ОГЭ (ГИА) и к ЕГЭ по русскому языкуУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

ОГЭ (ГИА) по русскому языку?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ОГЭ (ГИА) и к ЕГЭ по русскому языкуУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


Готовитесь
к ОГЭ (ГИА)?

(495) 509-28-10
Учебные материалы для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА) Учебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"


НАШИ ПАРТНЕРЫ
Учебный центр Резольвента контактная информация
Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА)
Учебные пособия по математике для школьников и студентов
Справочник по математике для школьников
Справочник по математике Окружность вписанная в треугольник доказательство существования формулы радиуса вывод основное свойство биссектрисы угла Геометрия (Планиметрия)

Окружность, вписанная в треугольник

Существование окружности, вписанной в треугольник

      Напомним определение биссектрисы угла.

      Определение 1. Биссектрисой угла называют луч, делящий угол на две равные части.

      Теорема  1 (Основное свойство биссектрисы угла). Каждая точка биссектрисы угла находится на одном и том же расстоянии от сторон угла (рис.1).

Существование окружности вписанной в треугольник основное свойство биссектрисы угла

Рис. 1

      Доказательство. Рассмотрим произвольную точку D, лежащую на биссектрисе угла BAC, и опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.1). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны острые углы DAF и DAE, а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

DF = DE,

что и требовалось доказать.

      Теорема 2 (обратная теорема к теореме 1). Если некоторая точка находится на одном и том же расстоянии от сторон угла, то она лежит на биссектрисе угла (рис.2).

Существование окружности вписанной в треугольник основное свойство биссектрисы угла

Рис. 2

      Доказательство. Рассмотрим произвольную точку D, лежащую внутри угла BAC и находящуюся на одном и том же расстоянии от сторон угла. Опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.2). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE, а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

Существование окружности вписанной в треугольник основное свойство биссектрисы угла

что и требовалось доказать.

      Определение 2. Окружность называют окружностью, вписанной в угол, если она касается сторон этого угла.

      Теорема 3. Если окружность вписана в угол, то расстояния от вершины угла до точек касания окружности со сторонами угла равны.

      Доказательство. Пусть точка D – центр окружности, вписанной в угол BAC, а точки E и F – точки касания окружности со сторонами угла (рис.3).

Существование окружности вписанной в треугольник основное свойство биссектрисы угла

Рис.3

      Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE (как радиусы окружности), а гипотенуза AD – общая. Следовательно

AF = AE,

что и требовалось доказать.

      Замечание. Теорему 3 можно сформулировать и по-другому: отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, равны.

      Напомним определение биссектрисы треугольника.

      Определение 3. Биссектрисой треугольника называют отрезок, являющийся частью биссектрисы угла треугольника, и соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне.

      Теорема 4. В любом треугольнике все три биссектрисы пересекаются в одной точке.

      Доказательство. Рассмотрим две биссектрисы, проведённые из вершин A и C треугольника ABC, и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 4).

Существование окружности вписанной в треугольник основное свойство биссектрисы угла

Рис. 4

      Опустим из точки O перпендикуляры OD, OE и OF на стороны   треугольника. Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла BAC, то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

OD = OE,

      Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла ACB, то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

OD = OF,

      Следовательно, справедливо равенство:

OE = OF,

откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на биссектрисе угла ABC. Таким образом, все три биссектрисы треугольника проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать

     Определение 4. Окружностью, вписанной в треугольник, называют окружность, которая касается всех сторон треугольника (рис.5).  В этом случае треугольник называют треугольником, описанным около окружности.

Существование окружности вписанной в треугольник основное свойство биссектрисы угла

Рис. 5

      Следствие. В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну. Центром вписанной в треугольник окружности является точка, в которой пересекаются все биссектрисы треугольника.

Формулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник

      Формулы, позволяющие найти радиус вписанной в треугольник окружности, удобно представить в виде следующей таблицы.

Фигура

Рисунок

Формула

Обозначения

Произвольный треугольник

Формулы для радиуса  окружности вписанной в треугольник

Формулы для радиуса  окружности вписанной в треугольник

Посмотреть вывод формулы

a, b, c – стороны треугольника,
S
–площадь, 
r –  радиус вписанной окружности,
p
– полупериметр

Формулы для радиуса  окружности вписанной в треугольник.

Формулы для радиуса  окружности вписанной в треугольник

Посмотреть вывод формулы

Равнобедренный треугольник

Формулы для радиуса  окружности 
			вписанной в равнобедренный треугольник

Формулы для радиуса  окружности 
			вписанной в равнобедренный треугольник

Посмотреть вывод формулы

a – боковая сторона равнобедренного треугольника,
b
 – основание,   r –  радиус вписанной окружности

Равносторонний треугольник

Формулы для радиуса  окружности 
			вписанной в равносторонний треугольник

Формулы для радиуса  окружности 
			вписанной в равносторонний треугольник

Посмотреть вывод формулы

a – сторона равностороннего треугольника,  r  –  радиус вписанной окружности

Прямоугольный треугольник

Формулы для радиуса  окружности 
			вписанной в прямоугольный треугольник

Формулы для радиуса  окружности 
			вписанной в прямоугольный треугольник

Посмотреть вывод формул

a, b – катеты прямоугольного треугольника,  
c  – гипотенуза
r – радиус вписанной окружности

Вывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник

      Теорема 5 . Для произвольного треугольника справедливо равенство

Формулы для радиуса  окружности вписанной в треугольник,

где a, b, c – стороны треугольника,  r –  радиус вписанной окружности,Формулы для радиуса  окружности вписанной в треугольник–  полупериметр (рис. 6).

Вывод формул для радиуса  окружности вписанной в треугольник

Рис. 6

      Доказательство. Из формулы

Формулы для радиуса  окружности вписанной в треугольник

с помощью формулы Герона получаем:

Формулы для радиуса  окружности вписанной в треугольник

что и требовалось.

      Теорема 6 . Для равнобедренного треугольника справедливо равенство

Формулы для радиуса  окружности вписанной в равнобедренный треугольник,

где a – боковая сторона равнобедренного треугольника, b – основание,  r –  радиус вписанной окружности (рис. 7).

Вывод формул для радиуса  окружности вписанной в треугольник

Рис. 7

      Доказательство. Поскольку для произвольного треугольника справедлива формула

Формулы для радиуса  окружности вписанной в равнобедренный треугольник,

где

Формулы для радиуса  окружности вписанной в равнобедренный треугольник,

то, в случае равнобедренного треугольника, когда

Формулы для радиуса  окружности вписанной в равнобедренный треугольник

получаем

Формулы для радиуса  окружности вписанной в равнобедренный треугольник

что и требовалось.

      Теорема 7 . Для равностороннего треугольника справедливо равенство

Формулы для радиуса  окружности вписанной в равносторонний треугольник

где a – сторона равностороннего треугольника,  r –  радиус вписанной окружности (рис. 8).

Вывод формул для радиуса  окружности вписанной в треугольник

Рис. 8

      Доказательство. Поскольку для равнобедренного треугольника справедлива формула

Формулы для радиуса  окружности вписанной в равносторонний треугольник,

то, в случае равностороннего треугольника, когда

b = a,

получаем

Формулы для радиуса  окружности вписанной в равносторонний треугольник

что и требовалось.

      Замечание. Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в равносторонний треугольник, непосредственно, т.е. без использования общих формул для радиусов окружностей, вписанных в произвольный треугольник или в равнобедренный треугольник.

      Теорема 8 . Для прямоугольного треугольника справедливо равенство

Формулы для радиуса  окружности вписанной в прямоугольный треугольник

где a, b – катеты прямоугольного треугольника,   c  –  гипотенузаr –  радиус вписанной окружности.

      Доказательство. Рассмотрим рисунок 9.

Вывод формул для радиуса  окружности вписанной в треугольник

Рис. 9

      Поскольку четырёхугольник CDOF является прямоугольником, у которого соседние стороны DO и OF равны, то этот прямоугольник – квадрат. Следовательно,

СВ = СF= r,

      В силу теоремы 3 справедливы равенства

Формулы для радиуса  окружности вписанной в прямоугольный треугольник

      Следовательно, принимая также во внимание теорему Пифагора, получаем

Формулы для радиуса  окружности вписанной в прямоугольный треугольник

что и требовалось.

      Замечание. Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, с помощью общей формулы для радиуса окружности, вписанной в произвольный треугольник.

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА) в учебном центре Резольвента

   На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра "Резольвента" учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА) по математике.

    Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными».
       Запись по телефону (495) 509-28-10.

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ или ОГЭ (ГИА) по математике, физике или русскому языку на высокий балл, учебный центр "Резольвента" проводит

Окружность вписанная в треугольник доказательство существования формулы радиуса вывод основное свойство биссектрисы угла подготовительные курсы для школьников 8, 9, 10 и 11 классов

      У нас также для школьников организованы

Окружность вписанная в треугольник доказательство существования формулы радиуса вывод основное свойство биссектрисы угла индивидуальные занятия с репетиторами по математике, физике и русскому языку

МОСКВА, СВАО, Учебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"


Hosted by RopNet         Яндекс цитирования