Справочник по математикеПризма прямая призма наклонная призма правильная призма боковые грани призмы боковая поверхность призмы основания призмы вершины призмы боковые ребра призмы ребро основания призмы теорема Эйлера высота призмы диагональ призмы примеры призмГеометрия (Стереометрия)Призма прямая призма наклонная призма правильная призма боковые грани призмы боковая поверхность призмы основания призмы вершины призмы боковые ребра призмы ребро основания призмы теорема Эйлера высота призмы диагональ призмы примеры призм Призмы

 

Призмы

Содержание

Призма прямая призма наклонная призма правильная призма боковые грани призмы боковая поверхность призмы основания призмы вершины призмы боковые ребра призмы ребро основания призмы теорема Эйлера высота призмы диагональ призмы примеры призм Основные определения и свойства призм. Теорема Эйлера
Призма прямая призма наклонная призма правильная призма боковые грани призмы боковая поверхность призмы основания призмы вершины призмы боковые ребра призмы ребро основания призмы теорема Эйлера высота призмы диагональ призмы примеры призм Виды призм. Прямые и наклонные призмы. Правильные призмы
Призма прямая призма наклонная призма правильная призма боковые грани призмы боковая поверхность призмы основания призмы вершины призмы боковые ребра призмы ребро основания призмы теорема Эйлера высота призмы диагональ призмы примеры призм Примеры призм. Треугольные призмы. Четырехугольные призмы. Параллелепипеды
 

Призма прямая призма наклонная призма правильная призма боковые грани призмы боковая поверхность призмы основания призмы вершины призмы боковые ребра призмы ребро основания призмы теорема Эйлера высота призмы диагональ призмы примеры призм

Основные определения и свойства призм. Теорема Эйлера

ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Призма боковые грани призмы боковая поверхность призмы основания призмы вершины призмы боковые ребра призмы ребро основания призмы

Рассмотрим две параллельные плоскости   α   и   β ,   прямую   p ,   пересекающую эти плоскости, и произвольный выпуклый n – угольник   A1A2 ... An ,   лежащий в плоскости   α   (рис. 1).

определение призмы

Рис.1

Если через каждую точку многоугольника   A1A2 ... An   провести прямую, параллельную прямой   p ,   и обозначить символами   A'1, A'2, ... , A'n   точки пересечения с плоскостью   β   прямых, параллельных прямой  p   и проходящих через точки   A1, A2, ... , An  ,   то полученную фигуру   A1A2 ... An A'1A'2 ... A'n   называют n – угольной призмой (рис.2).

определение призмы

Рис.2

Призма боковые грани призмы боковая поверхность призмы основания призмы вершины призмы боковые ребра призмы ребро основания призмы

Четырехугольники

A1A2A'2A'1,   A2A3A'3A'2,   ... ,   AnA1A'1A'n

называют боковыми гранями призмы.

Призма боковые грани призмы боковая поверхность призмы основания призмы вершины призмы боковые ребра призмы ребро основания призмы

Совокупность всех боковых граней призмы составляет боковую поверхность призмы.

Призма боковые грани призмы боковая поверхность призмы основания призмы вершины призмы боковые ребра призмы ребро основания призмы

Многоугольники   A1A2 ... An   и   A'1A'2 ... A'n   называют основаниями призмы.

Призма боковые грани призмы боковая поверхность призмы основания призмы вершины призмы боковые ребра призмы ребро основания призмы

Точки   A1, A2, ... , An , A'1, A'2, ... , A'n   (вершины многоугольников   A1A2 ... An   и   A'1A'2 ... A'n )   называют вершинами призмы.

Призма боковые грани призмы боковая поверхность призмы основания призмы вершины призмы боковые ребра призмы ребро основания призмы

Отрезки   A1A'1 , A2A'2 , ... , AnA'n   называют боковыми ребрами призмы.

Призма боковые грани призмы боковая поверхность призмы основания призмы вершины призмы боковые ребра призмы ребро основания призмы

Отрезки   A1A2 , A2A3 , ... , AnA1 , ... , A'1A'2 , A'2A'3 , ... , A'nA'1   (стороны многоугольников   A1A2 ... An   и   A'1A'2 ... A'n )   называют ребрами оснований призмы.

Призма боковые грани призмы боковая поверхность призмы основания призмы вершины призмы боковые ребра призмы ребро основания призмы

Расстояние между плоскостями, на которых лежат основания призмы, называют высотой призмы.

Диагональ призмы

Диагональю призмы называют отрезок, соединяющий две вершины призмы, не принадлежащие одной грани.

ЗАМЕЧАНИЕ 1. В случае, когда не требуется делать специальных уточнений,

Призма боковые грани призмы боковая поверхность призмы основания призмы вершины призмы боковые ребра призмы ребро основания призмы теорема Эйлера высота призмы диагональ призмы

боковые ребра и ребра оснований называют ребрами призмы,

Призма боковые грани призмы боковая поверхность призмы основания призмы вершины призмы боковые ребра призмы ребро основания призмы теорема Эйлера высота призмы диагональ призмы

боковые грани и основания призмы называют гранями призмы

Призма боковые грани призмы боковая поверхность призмы основания призмы вершины призмы боковые ребра призмы ребро основания призмы теорема Эйлера высота призмы диагональ призмы

совокупность всех граней призмы (всех боковых граней и оснований) называют полной поверхностью призмы,

Призма боковые грани призмы боковая поверхность призмы основания призмы вершины призмы боковые ребра призмы ребро основания призмы теорема Эйлера высота призмы диагональ призмы

– угольные призмы называют призмами.

УТВЕРЖДЕНИЕ 1. Каждая из   n   боковых граней призмы

A1A2A'2A'1,   A2A3A'3A'2,   ... ,     AnA1A'1A'n

является параллелограммом.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Докажем сначала, что параллелограммом является, например, четырехугольник   A1A2A'2A'1.   Для этого заметим, что стороны   A1A'1   и   A2A'2   параллельны по построению. Заметим также, что прямая   A1A2   параллельна плоскости   β ,   так как лежит в плоскости α ,   которая параллельна плоскости   β .   Прямая A'1A'2   является линией пересечения плоскости   A1A2A'2A'1   с плоскостью   β .   Из признака параллельности прямой и плоскости следует, что прямая   A'1A'2   параллельна прямой   A1A2 .   Таким образом, у четырехугольника   A1A2A'2A'1   противоположные стороны попарно параллельны, то есть   A1A2A'2A'1   – параллелограмм.

Для остальных четырехугольников доказательство проводится аналогично.

УТВЕРЖДЕНИЕ 2 . Все боковые ребра призмы равны.

Это утверждение непосредственно вытекает из утверждения 1.

ТЕОРЕМА ЭЙЛЕРА . Для любой призмы справедливо равенство:

число
вершин
+
число
граней
число
ребер
= 2

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Заметим, что у – угольной призмы   2n   вершин,   n   боковых граней,   2   основания,   2n   ребер основания и   n   боковых ребер. Следовательно, у – угольной призмы   (n + 2)   грани и   3n   ребер.

Поскольку

2n + (n + 2) – 3n = 2

то теорема Эйлера доказана.

Виды призм. Прямые и наклонные призмы. Правильные призмы

Существует следующая классификация призм.

Призма прямая призма наклонная призма правильная призма

Рис.3

ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Прямая призма

Прямой призмой называют призму, боковые ребра которой перпендикулярны к плоскостям оснований.

Наклонная призма

Призмы, боковые ребра которых не перпендикулярны к плоскостям оснований, называют наклонными призмами.

Правильная призма

Правильной призмой называют прямую призму, основаниями которой служат правильные многоугольники.

ЗАМЕЧАНИЕ 2. Все боковые грани прямой призмы являются прямоугольниками. Высота прямой призмы равна длине бокового ребра.

Примеры призм. Треугольные призмы. Четырехугольные призмы.
Параллелепипеды

Наклонная треугольная призма

Наклонная треугольная призма

Свойства:

Прямая треугольная призма

Прямая треугольная призма

Свойства:

Правильная треугольная призма

Правильная треугольная призма

Свойства:

Наклонная четырехугольная призма

Наклонная четырехугольная призма

Свойства:

Прямая четырехугольная призма

Прямая четырехугольная призма

Свойства:

Правильная четырехугольная призма

Правильная четырехугольная призма

Свойства:

Параллелепипед

Параллелепипед

Свойства:

Прямой параллелепипед

Прямой параллелепипед

Свойства:

Прямоугольный параллелепипед

Прямоугольный параллелепипед

Свойства:

Правильный параллелепипед

Правильный параллелепипед

Свойства:

Куб

Куб

Свойства:

Близкие по тематике разделы сайта

С различными формулами для вычисления объема призмы и площадей боковой и полной поверхности призмы можно ознакомиться в разделе «Формулы для объема, площади боковой поверхности и площади полной поверхности призмы».

С определением сечения призмы и способами построения сечений призмы можно ознакомиться в разделе «Сечения призмы. Перпендикулярные сечения призмы».

© «Резольвента - учебные материалы», 2009-2024 

Rambler's Top100  Рейтинг@Mail.ru

Метрика Яндекса
 Яндекс.Метрика