Справочник по математике
Арифметика Делимость и деление с остатком
Делимость натуральных чисел. Деление с остатком. Признаки делимости
Содержание
 |
Делимость натуральных чисел. Деление с остатком |
|
Признаки делимости |
Делимость натуральных чисел. Деление с остатком
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Говорят, что натуральное число a делится на натуральное число b , если существует такое натуральное число c, что выполняется равенство
a = bc .
В противном случае говорят, что число a не делится на число b.
Число b называют делителем числа a.
Если число a больше, чем число b, и не делится на число b, то число a можно разделить на число b с остатком.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Деление числа a на число b с остатком означает, что найдутся такие натуральные числа c и r , что выполняются соотношения
a = bc + r, r < b .
Число b называют делителем, число c – частным, а число r – остатком от деления a на b .
Еще раз особо подчеркнем, что остаток r всегда меньше, чем делитель b .
Например, число 204 не делится на число 5 , но, разделив число 204 на 5 с остатком, получаем:
Таким образом, частное от деления равно 40 , а остаток равен 4 .
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Числа, делящиеся на 2 , называют четными, а числа, которые не делятся на 2 , называют нечетными.
Признаки делимости
Для того, чтобы быстро выяснить, делится ли одно натуральное число на другое, существуют признаки делимости.
|
Признак делимости на 2 |
|
Формулировка признака: Число должно оканчиваться четной цифрой: Пример: 1258 |
|
Признак делимости на 3 |
|
Формулировка признака: Сумма цифр числа должна делиться на 3 Пример: 744 , |
|
Признак делимости на 4 |
|
Формулировка признака: Число, образованное двумя последними цифрами, должно делиться на 4 Пример: 7924 |
|
Признак делимости на 5 |
|
Формулировка признака: Число должно оканчиваться цифрой 0 или 5 Пример: 835 |
|
Признак делимости на 6 |
|
Формулировка признака: Число должно делиться на 2 и на 3 Пример: 234 , |
|
Признак делимости на 7 |
|
Формулировка признака: На 7 должно делиться число, полученное вычитанием удвоенной последней цифры из исходного числа с отброшенной последней цифрой Пример: 3626 , |
|
Признак делимости на 8 |
|
Формулировка признака: Число, образованное тремя последними цифрами, должно делиться на 8 Пример: 63024 |
|
Признак делимости на 9 |
|
Формулировка признака: Сумма цифр должна делиться на 9 Пример: 2574 , |
|
Признак делимости на 10 |
|
Формулировка признака: Число должно оканчиваться 0 Пример: 1690 |
|
Признак делимости на 11 |
|
Формулировка признака: Сумма цифр, стоящих на четных местах, либо равна сумме цифр, стоящих на нечетных местах, либо отличается от нее на число, делящееся на 11 Пример: 1408 , |
|
Признак делимости на 13 |
|
Формулировка признака: На 13 должно делиться число, полученное добавлением учетверенной последней цифры к исходному числу с отброшенной последней цифрой Пример: 299 , |
|
Признак делимости на 25 |
|
Формулировка признака: Число должно оканчиваться на 00 , 25 , 50 или 75 Пример: 7975 |
|
Признак делимости на 50 |
|
Формулировка признака: Число должно оканчиваться на 00 или 50 Пример: 2957450 |
|
Признак делимости на 100 |
|
Формулировка признака: Число должно оканчиваться на 00 Пример: 102300 |
|
Признак делимости на 1000 |
|
Формулировка признака: Число должно оканчиваться на 000 Пример: 3217000 |