Справочник по математике

Арифметика

Делимость и деление с остатком

Наименьшее общее кратное

      Если натуральное число    делится на натуральное число , то число    называют кратным числу .

      Общим кратным нескольких натуральных чисел называют натуральное число, которое является кратным для каждого из этих чисел.  В частности, общим кратным нескольких чисел является произведение этих чисел.  

      Наименьшее из общих кратных нескольких натуральных чисел называют наименьшим общим кратным (НОК) этих чисел.

Алгоритм нахождения наименьшего общего кратного

      Рассмотрим алгоритм нахождения наименьшего общего кратного нескольких чисел на следующем примере.

      Пример.  Найти наименьшее общее кратное чисел 100, 750 и 800.

      Решение. Разложим эти числа на простые множители:

      Простой множитель 2 в первое разложение на множители входит в степени 2, во второе разложение – в степени 1, в третье разложение  –  в степени 5. Обозначим наибольшую из этих степеней буквой . Очевидно, что .

      Простой множитель 3 в первое разложение на множители входит в степени 0 (другими словами, множитель 3 в первое разложение на множители вообще не входит), во второе разложение входит в степени 1, в третье разложение  –  в степени 0. Обозначим наибольшую из этих степеней буквой . Очевидно, что .

      Простой множитель 5 в первое разложение на множители входит в степени 2, во второе разложение – в степени 3, в третье разложение  –  в степени 2. Обозначим наибольшую из этих степеней буквой . Очевидно, что .

      Теперь рассмотрим число:

      то число и есть наименьшее общее кратное чисел 100, 750 и 800.

      Ответ: 12000.

Связь между наибольшим общим делителем и
наименьшим общим кратным двух натуральных чисел

     Утверждение. Наименьшее общее кратное двух чисел можно найти, разделив произведение этих чисел на их наибольший общий делитель.

      Действительно, рассмотрим, например, два числа: 10 и 75. Разлагая эти числа на простые множители, получим

      Используя алгоритмы нахождения наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного чисел, получаем, что наибольший общий делитель этих чисел равен 5, а наименьшее общее кратное этих чисел равно 150. Поскольку произведение чисел 10 и 75 равно 750, то справедливо соотношение

      что и требовалось показать.

      Замечание. Поскольку наибольший общий делитель двух взаимно простых чисел равен 1, то наименьшее общее кратное двух взаимно простых чисел равно их произведению.

        

Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика "проблемными".        Запись по телефону (495) 509-28-10.

   На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра "Резольвента" учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ГИА по математике.

        Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ или ГИА по математике, физике или русскому языку на высокий балл, учебный центр "Резольвента" проводит

курсы подготовки к ЕГЭ для школьников 11 класса

курсы подготовки к ГИА для школьников 9 класса

         У нас также для школьников организованы

индивидуальные занятия с репетиторами по математике

индивидуальные занятия с репетиторами по русскому языку

индивидуальные занятия с репетиторами по физике

МОСКВА, СВАО, Учебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"