e-mail: resolventa@list.ru
Mосква, Северо-восток
Подготовка школьников, студентов и аспирантов к экзаменам по математике
Помощь студентам
Помощь аспирантам
Учебные пособия по математике для школьников и студентов
Поиск по сайту:


НАШИ УСЛУГИ
Подготовительные курсы к ГИА
Подготовительные курсы к ЕГЭ
Репетиторы
для школьников
НАШИ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Справочник
по математике
для школьников
Наши учебные пособия


Сложно с геометрией?

(495) 509-28-10
Помощь школьникам по геометрии Учебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"


Как решать задачи
по физике?

(495) 509-28-10
Репетиторы по физике Учебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"


Проблемы с
математикой?

(495) 509-28-10
Подготовка к ЕГЭ по математике Учебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"


ГИА по русскому языку?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ЕГЭ 2014 по русскому языку Учебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"

ЕГЭ по математике?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ЕГЭ 2014 по математике Учебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"



Высота треугольника ортоцентр ортоцентрический треугольник задача ФаньяноЕГЭ. Математика. 1000 задач с ответами и решениями. Все задания группы С. "Закрытый сегмент" - Сергеев И.С.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Высота треугольника ортоцентр ортоцентрический треугольник задача ФаньяноГотовимся к ГИА. Математика. Диагностичес- кие работы в формате ГИА-9 2014. ФГОС
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Высота треугольника ортоцентр ортоцентрический треугольник задача Фаньяно Фигуры в пространстве. Пособие для подготовки к ЕГЭ - Смирнов В.А.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Высота треугольника ортоцентр ортоцентрический треугольник задача ФаньяноГИА. Математика. 3000 задач с ответами. Три модуля: "Алгебра", "Геометрия", "Реальная математика". Все задания части 1. "Закрытый сегмент" - Семенов А.Л.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Высота треугольника ортоцентр ортоцентрический треугольник задача ФаньяноГотовимся к ЕГЭ. Математика. Диагностичес- кие работы в формате ЕГЭ 2014. ФГОС
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Высота треугольника ортоцентр ортоцентрический треугольник задача ФаньяноГИА-2014. Математика. 9 класс. Экзамен в новой форме - Бунимович Е.А.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Высота треугольника ортоцентр ортоцентрический треугольник задача Фаньяно ЕГЭ. Математика с теорией вероятности и статистикой. 3000 задач с ответами по математике. Все задания группы В. Закрытый сегмент. Более 3000 заданий. Задания В1-В14. Все прототипы. Ответы. Разработано МИОО - Семенов А.Л.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Высота треугольника ортоцентр ортоцентрический треугольник задача Фаньяно Математика. 9 класс. Подготовка к ГИА. Задания с параметром - Коннова Е.Г.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Высота треугольника ортоцентр ортоцентрический треугольник задача ФаньяноЕГЭ 2014. Математика. Решение задачи С4. ФГОС - Гордин Р.К.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Высота треугольника ортоцентр ортоцентрический треугольник задача Фаньяно Математика. 200 вариантов разноуровне- вых задач для подготовки к ЕГЭ, ГИА, олимпиадам - Балаян Э.Н.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Высота треугольника ортоцентр ортоцентрический треугольник задача ФаньяноЕГЭ 2014. Подготовка к экзаменам
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Высота треугольника ортоцентр ортоцентрический треугольник задача ФаньяноГИА 2014. Математика - Семенов А.В.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Высота треугольника ортоцентр ортоцентрический треугольник задача ФаньяноГрафики. Пособие для подготовки к ЕГЭ - Смирнов В.А.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Высота треугольника ортоцентр ортоцентрический треугольник задача ФаньяноСправочник по математике для подготовки к ГИА и ЕГЭ - Балаян Э.Н.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Высота треугольника ортоцентр ортоцентрический треугольник задача ФаньяноСдаем Единый экзамен 2014
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Высота треугольника ортоцентр ортоцентрический треугольник задача Фаньяно ГИА. Математика. Задачник. Сборник заданий и методических рекомендаций - Глазков Ю.А.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Высота треугольника ортоцентр ортоцентрический треугольник задача Фаньяно ЕГЭ супертренинг. Математика. Тематические тренировочные задания. Уровень В, С. - Лаппо Л.Д.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Высота треугольника ортоцентр ортоцентрический треугольник задача Фаньяно Математика. Подготовка к ЕГЭ. Задание C3. Решение неравенств с одной переменной - Прокофьев А.А.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Высота треугольника ортоцентр ортоцентрический треугольник задача Фаньяно ЕГЭ-2014. Математика. Самое полное издание типовых вариантов заданий - Ященко И.В.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Высота треугольника ортоцентр ортоцентрический треугольник задача Фаньяно Математика. Подготовка к ЕГЭ-2014. Тематические тесты (С1, С3). Уравнения, неравенства, системы - Лысенко Ф.Ф.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Высота треугольника ортоцентр ортоцентрический треугольник задача Фаньяно ЕГЭ 2014. Математика. Задача С2. Геометрия. Стереометрия. ФГОС - Смирнов В.А.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru


ГИА по физике?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ГИА 2014 по физике Учебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"


ЕГЭ по русскому языку?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ЕГЭ 2014 по русскому языку Учебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"


НАШИ ПАРТНЕРЫ
Учебный центр Резольвента контактная информация
Подготовка к ГИА
Подготовка к ЕГЭ
Справочник по математике для школьников
Справочник по математике Высота треугольника ортоцентр ортоцентрический треугольник задача Фаньяно Геометрия (Планиметрия)

Высота треугольника. Задача Фаньяно

Высота треугольника

      Определение 1. Высотой треугольника называют перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую, содержащую противолежащую сторону треугольника. Основанием высоты называют основание этого перпендикуляра (рис.1).

Высота треугольника свойство высоты прямоугольного треугольника

Рис.1

      На рисунке 1 изображена высота BD, проведённая из вершины B треугольника ABC. Точка D – основание высоты.

      Для высоты прямоугольного треугольника, проведённой из вершины прямого угла, справедливо следующее утверждение.

      Утверждение. Длина высоты прямоугольного треугольника, опущенной на гипотенузу, является средним геометрическим между длинами отрезков, на которые основание высоты делит гипотенузу (рис.2).

Высота треугольника свойство высоты прямоугольного треугольника

Рис.2

      Доказательство. Углы треугольников BCD и  ACD (рис.2) удовлетворяют соотношениям

Высота треугольника свойство высоты прямоугольного треугольника

      В силу признака подобия прямоугольных треугольников треугольники BCD и  ACD подобны. Следовательно,

Высота треугольника свойство высоты прямоугольного треугольника

      Таким образом, длина отрезка CD является средним геометрическим между длинами отрезков BD и AD, что и требовалось доказать.

      Высоты можно провести из каждой вершины треугольника, однако у треугольников различных типов высоты располагаются по-разному, как показано в следующей таблице.

Расположение высот у треугольников различных типов

Фигура Рисунок Описание

Остроугольный треугольник

Высота треугольника расположение высот остроугольного треугольника

Все высоты остроугольного треугольника лежат внутри треугольника.

Высота треугольника расположение высот остроугольного треугольника

Высота треугольника расположение высот остроугольного треугольника

Прямоугольный треугольник

Высота треугольника расположение высот прямоугольного треугольника

 

Высоты прямоугольного треугольника, проведённые из вершин острых углов, совпадают с катетами  треугольника. Высота, проведённая из вершины прямого угла, лежит внутри треугольника

Высота треугольника расположение высот прямоугольного треугольника

Высота треугольника расположение высот прямоугольного треугольника

Тупоугольный треугольник

Высота треугольника расположение высот тупоугольного треугольника

Высоты тупоугольного треугольника, проведённые из вершин острых углов, лежат вне треугольника. Высота, проведённая из вершины тупого угла, лежит внутри треугольника

Высота треугольника расположение высот тупоугольного треугольника

Высота треугольника расположение высот тупоугольного треугольника

Ортоцентр треугольника

      Теорема 1. Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке.

      Доказательство. Рассмотрим произвольный треугольник ABC и проведём через каждую из его вершин прямую, параллельную противолежащей стороне (рис.3).

Высота треугольника ортоцентр треугольника

Рис.3

      Обозначим точки пересечения этих прямых символами A1, B1 и C1, как показано на рисунке 3.

      В силу параллельности прямых AC и C1A1, а также   BC  и  C1B1 четырёхугольники   AC1BC   и   ABA1Cпараллелограммы, откуда вытекают равенства

C1B = AC = BA1.

      Следовательно, точка B является серединой стороны C1A1.

      В силу параллельности прямых BC и C1B1, а также  AB  и  B1A1 четырёхугольники   AC1BC   и   ABCB1параллелограммы, откуда вытекают равенства

C1A = BC = A1B1.

      Следовательно, точка A является серединой стороны C1B1.

      В силу параллельности прямых AB  и   B1A1, а также  AC и C1A1 четырёхугольники   ABA1C   и   ABCB1параллелограммы, откуда вытекают равенства

A1C = AB = B1C.

      Следовательно, точка C является серединой стороны  B1A1.

      Таким образом, высоты треугольника ABC являются серединными перпендикулярами треугольника  A1B1C1 (рис. 4),

Высота треугольника ортоцентр треугольника

Рис.4

и в силу теоремы о серединных перпендикулярах пересекаются в одной точке.

      Теорема 1 доказана.

      Определение 2. Точку пересечения высот треугольника (или их продолжений) называют ортоцентром треугольника.

      У треугольников различных типов ортоцентры располагаются по-разному, как показано в следующей таблице.

Расположение ортоцентров у треугольников различных типов

Фигура Рисунок Описание

Остроугольный треугольник

Высота треугольника расположение ортоцентра остроугольного треугольника

Ортоцентр остроугольного треугольника лежит внутри треугольника.

Прямоугольный треугольник

Высота треугольника расположение ортоцентра прямоугольного треугольника

Ортоцентр прямоугольного треугольника совпадает с вершиной прямого угла

Тупоугольный треугольник

Высота треугольника расположение ортоцентра тупоугольного треугольника

Ортоцентр тупоугольного треугольника лежит вне треугольника.
В ортоцентре тупоугольного треугольника пересекаются не высоты, а продолжения высот треугольника.

Ортоцентрический треугольник

      Решим следующую задачу.

      Задача. В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AD и BE (рис.5).  Доказать, что треугольник DCE подобен треугольнику ABC.

Высота треугольника ортоцентрический треугольник

Рис.5

      Решение. Рассмотрим треугольники ADC и BEC. Эти треугольники подобны в силу признака подобия прямоугольных треугольников с равными острыми углами (угол C общий). Следовательно, справедливо равенство

Высота треугольника ортоцентрический треугольник

      Это равенство, а также наличие общего угла C позволяют на основании признака подобия треугольников заключить, что и треугольники   DCE   и   ABC   подобны. Решение задачи завершено.

      Из подобия треугольников   ABC   и   EDC (рис.5) вытекает важное следствие.

      Следствие 1.

Высота треугольника ортоцентрический треугольник

      Определение 3. Ортоцентрическим треугольником (ортотреугольником) называют треугольник, вершинами которого служат основания высот исходного треугольника (рис 6).

Высота треугольника ортоцентрический треугольник

Рис.6

      Из определения 3 и следствия 1 вытекает следствие 2.

      Следствие 2. Пусть FDE – ортоцентрический треугольник с вершинами в основаниях высот остроугольного треугольника ABC (рис 7).

Высота треугольника ортоцентрический треугольник

Рис.7

      Тогда справедливы равенства

Высота треугольника ортоцентрический треугольник

      Из следствия 2 вытекает теорема 2.

      Теорема  2. Высоты остроугольного треугольника являются биссектрисами углов его ортоцентрического треугольника (рис.7).

      Доказательство. Воспользовавшись следствием 2, получаем:

Высота треугольника ортоцентрический треугольник

что и требовалось доказать.

Задача Фаньяно

      Задача Фаньяно. Рассматриваются всевозможные треугольники   DEF,   вершины    D,   E   и   F   которых лежат на сторонах   BC,   AC и   AB   остроугольного треугольника   ABC   соответственно. Доказать, что из всех треугольников DEF  наименьшим периметром  обладает ортоцентрический треугольник треугольника   ABC.

      Решение. Пусть   DEF – один из рассматриваемых треугольников. Обозначим символом   D1   точку, симметричную точке   D   относительно прямой   AC, и обозначим символом   D2   точку, симметричную точке D относительно прямой   AB (рис.8).

Высота треугольника задача Фаньяно

Рис.8

      Поскольку отрезок прямой – кратчайшее расстояние между двумя точками, то периметр треугольника DEF оказывается не меньшим, чем длина отрезка  D1D2. Отсюда вытекает, что при фиксированной точке D наименьшим периметром обладает такой треугольник DEF, вершины F и E  которого являются точками пересечения прямой  D1D2   с прямыми AB и AC соответственно. Периметр этого треугольника равен длине отрезка  D1D2 (рис.9).

Высота треугольника задача Фаньяно

Рис.9

      Заметим также, что выполнено равенство

AD = AD1 = AD2.

      Кроме того, выполнено равенство

Высота треугольника задача Фаньяно

      Поэтому

Высота треугольника задача Фаньяно

      Отсюда вытекает, что длина отрезка  D1D2   будет наименьшей тогда, когда длина отрезка AD  будет наименьшей, т.е. в том случае, когда отрезок AD  является высотой треугольника ABC. Другими словами, наименьшим периметром обладает такой треугольник DEF, у которого вершина D  является основанием высоты треугольника ABC, проведённой из вершины A, а вершины E  и F  построены по описанной выше схеме. Таким образом, среди всевозможных треугольников DEF  треугольник с наименьшим периметром является единственным.

      Если обозначить длину высоты, проведённой из вершины A, длину стороны AB и радиус описанной около треугольника ABC окружности буквами h, c и R соответственно, то, воспользовавшись теоремой синусов, получим:

Высота треугольника задача Фаньяно

      Следовательно, наименьший периметр рассматриваемых треугольников DEF  равен

Высота треугольника задача Фаньяно

      Теперь докажем, что ортоцентрический треугольник и является треугольником с наименьшим периметром. Для этого воспользуемся следующей леммой.

      Лемма. Пусть DEF – ортоцентрический треугольник треугольника ABC (рис.10).

Высота треугольника задача Фаньяно

Рис.10

      В этом случае отрезок  D1D2  проходит через точки F  и E.

      Доказательство. Заметим, что в силу следствия 2 выполняются равенства:

Высота треугольника задача Фаньяно

      Кроме того, в силу равенства треугольников DFK  и KFD2, а также в силу равенства треугольников DEL  и   LED1 выполняются равенства:

Высота треугольника задача Фаньяно

      Следовательно,

Высота треугольника задача Фаньяно

откуда вытекает, что углы AEF  и   D1EL , а также AFE  и  D2FK  являются вертикальными углами. Это означает, что точки D1, F, E, D2 лежат на одной прямой. Лемма  доказана.

      Доказательство леммы и завершает решение задачи Фаньяно.

Подготовка к ЕГЭ и ГИА в учебном центре Резольвента

   На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра "Резольвента" учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ГИА по математике.

    Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика "проблемными".
       Запись по телефону (495) 509-28-10.

        Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ или ГИА по математике, физике или русскому языку на высокий балл, учебный центр "Резольвента" проводит

Высота треугольника ортоцентр ортоцентрический треугольник задача Фаньяно курсы подготовки к ЕГЭ для школьников 11 класса
Высота треугольника ортоцентр ортоцентрический треугольник задача Фаньяно курсы подготовки к ЕГЭ для школьников 10 класса
Высота треугольника ортоцентр ортоцентрический треугольник задача Фаньяно курсы подготовки к ГИА для школьников 9 класса

         У нас также для школьников организованы

Высота треугольника ортоцентр ортоцентрический треугольник задача Фаньяно индивидуальные занятия с репетиторами по математике
Высота треугольника ортоцентр ортоцентрический треугольник задача Фаньяно индивидуальные занятия с репетиторами по русскому языку
Высота треугольника ортоцентр ортоцентрический треугольник задача Фаньяно индивидуальные занятия с репетиторами по физике

МОСКВА, СВАО, Учебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"


Hosted by RopNet         Яндекс цитирования