e-mail: resolventa@list.ru
Mосква, Северо-восток
Подготовка школьников, студентов и аспирантов к экзаменам по математике
Помощь студентам
Помощь аспирантам
Вакансии в учебном центр Резольвента
Поиск по сайту:
До ЕГЭ по математике осталось
дней часов минут секунд



НАШИ УСЛУГИ
Подготовительные курсы к ОГЭ (ГИА)
Подготовительные курсы к ЕГЭ
Репетиторы
для школьников
НАШИ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Справочник
по математике
для школьников
Наши учебные пособия

Проблемы с
математикой?

(495) 509-28-10
Подготовка к ЕГЭ по математике Учебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"


ОГЭ (ГИА) по русскому языку?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ЕГЭ 2015 по русскому языку Учебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"


Как решать задачи
по физике?

(495) 509-28-10
Репетиторы по физике Учебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"

Сложно с геометрией?

(495) 509-28-10
Помощь школьникам по геометрии Учебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"




Описанная окружность центр радиус серединный перпендикуляр свойства теорема синусов ЕГЭ-2014. Математика. Самое полное издание типовых вариантов заданий - Ященко И.В.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Описанная окружность центр радиус серединный перпендикуляр свойства теорема синусов Готовимся к ОГЭ (ГИА). Математика. Диагностичес- кие работы в формате ОГЭ (ГИА)-9 2014. ФГОС
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Описанная окружность центр радиус серединный перпендикуляр свойства теорема синусов ЕГЭ. Математика с теорией вероятности и статистикой. 3000 задач с ответами по математике. Все задания группы В. Закрытый сегмент. Более 3000 заданий. Задания В1-В14. Все прототипы. Ответы. Разработано МИОО - Семенов А.Л.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Описанная окружность центр радиус серединный перпендикуляр свойства теорема синусов ОГЭ (ГИА). Математика. 3000 задач с ответами. Три модуля: "Алгебра", "Геометрия", "Реальная математика". Все задания части 1. "Закрытый сегмент" - Семенов А.Л.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Описанная окружность центр радиус серединный перпендикуляр свойства теорема синусов Фигуры в пространстве. Пособие для подготовки к ЕГЭ - Смирнов В.А.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Описанная окружность центр радиус серединный перпендикуляр свойства теорема синусов ОГЭ (ГИА)-2014. Математика. 9 класс. Экзамен в новой форме - Бунимович Е.А.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Описанная окружность центр радиус серединный перпендикуляр свойства теорема синусов Готовимся к ЕГЭ. Математика. Диагностичес- кие работы в формате ЕГЭ 2014. ФГОС
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Описанная окружность центр радиус серединный перпендикуляр свойства теорема синусовМатематика. 9 класс. Подготовка к ОГЭ (ГИА). Задания с параметром - Коннова Е.Г.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Описанная окружность центр радиус серединный перпендикуляр свойства теорема синусовЕГЭ 2014. Математика. Решение задачи С4. ФГОС - Гордин Р.К.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru



ЕГЭ по русскому языку?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ЕГЭ 2015 по русскому языку Учебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"
НАШИ ПАРТНЕРЫ
Учебный центр Резольвента контактная информация
Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА)
Учебные пособия по математике для школьников и студентов
Справочник по математике для школьников
Справочник по математике Описанная окружность центр радиус серединный перпендикуляр свойства теорема синусов Геометрия (Планиметрия)

Окружность, описанная около треугольника.
Треугольник, вписанный в окружность. Теорема синусов

Серединный перпендикуляр к отрезку

      Определение 1. Серединным перпендикуляром к отрезку называют, прямую, перпендикулярную к этому отрезку и проходящую через его середину (рис. 1).

Серединный перпендикуляр свойства

Рис.1

      Теорема 1. Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку находится на одном и том же расстоянии от концов этого отрезка.

      Доказательство. Рассмотрим произвольную точку D, лежащую на серединном перпендикуляре к отрезку AB (рис.2), и докажем, что треугольники  ADC и BDC равны.

Серединный перпендикуляр свойства

Рис.2

      Действительно, эти треугольники являются прямоугольными треугольниками, у которых катеты AC и BC равны, а катет DC является общим. Из равенства треугольников ADC и BDC вытекает равенство отрезков AD и DB. Теорема 1 доказана.

      Теорема 2 (Обратная  к теореме 1). Если точка находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, то она лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку.

      Доказательство. Докажем теорему 2 методом «от противного». С этой целью предположим, что некоторая точка E находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, но не лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку. Приведём это предположение к противоречию. Рассмотрим сначала случай, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра (рис.3). В этом случае отрезок EA пересекает серединный перпендикуляр в некоторой точке, которую мы обозначим буквой D.

Серединный перпендикуляр свойства

Рис.3

      Докажем, что отрезок AE длиннее отрезка EB. Действительно,

Серединный перпендикуляр свойства

      Таким образом, в случае, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра, мы получили противоречие.

Серединный перпендикуляр свойства

Рис.4

      Теперь рассмотрим случай, когда точки E и A лежат по одну сторону от серединного перпендикуляра (рис.4).  Докажем, что отрезок EB длиннее отрезка AE. Действительно,

Серединный перпендикуляр свойства

      Полученное противоречие и завершает доказательство теоремы 2

Окружность, описанная около треугольника

      Определение 2. Окружностью, описанной около треугольника, называют окружность, проходящую через все три вершины треугольника (рис.5).  В этом случае треугольник называют треугольником, вписанным в окружность, или вписанным треугольником.

Описанная около треугольника окружность треугольник вписанный в окружность

Рис.5

Свойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов

Фигура Рисунок Свойство
Серединные перпендикуляры
к сторонам треугольника
Серединный перпендикуляр свойства Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.
Посмотреть доказательство
Окружность, описанная около треугольника Описанная около треугольника окружность треугольник вписанный в окружность Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.
Посмотреть доказательство
Центр описанной около остроугольного треугольника окружности Центр описанной около остроугольного треугольника окружности лежит внутри треугольника.
Центр описанной около прямоугольного треугольника окружности Описанная около прямоугольного треугольника окружность Центром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы.
Посмотреть доказательство
Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности Описанная около треугольника окружность центр радиус свойства Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника.
Теорема синусов Теорема синусов

Для любого треугольника справедливы равенства (теорема синусов):

Теорема синусов,

где a, b, c  – стороны треугольника, A, B, С  – углы треугольника, R – радиус описанной окружности.

Посмотреть доказательство

Площадь треугольника Формула площади треугольника через радиус описанной окружности

Для любого треугольника справедливо равенство:

S = 2R2 sin A sin B sin C ,

где A, B, С  – углы треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Посмотреть доказательство

Радиус описанной окружности Формула для радиуса описанной окружности

Для любого треугольника справедливо равенство:

Формула для радиуса описанной окружности

где a, b, c  – стороны треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Посмотреть доказательство

Доказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности

      Теорема 3. Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.

      Доказательство. Рассмотрим два серединных перпендикуляра, проведённых к сторонам AC и AB треугольника ABC, и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 6).

Описанная около треугольника окружность серединный перпендикуляр свойства доказательства

Рис.6

      Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AC, то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

CO = AO .

      Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB, то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

AO = BO .

      Следовательно, справедливо равенство:

CO = BO ,

откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку BC. Таким образом, все три серединных перпендикуляра проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать.

      Следствие. Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.

      Доказательство. Рассмотрим точку O, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника ABC(рис. 6).

      При доказательстве теоремы 3 было получено равенство:

AO = OB = OC ,

из которого вытекает, что окружность с центром в точке O и радиусами OA, OB, OC проходит через все три вершины треугольника ABC, что и требовалось доказать.

      Теорема 4 (теорема синусов). Для любого треугольника (рис. 7)

Теорема синусов

Рис.7

справедливы равенства:

Теорема синусов.

      Доказательство. Докажем сначала, что длина хорды окружности радиуса R, на которую опирается вписанный угол величины φ , вычисляется по формуле:

l = 2R sin φ . (1)

      Рассмотрим сначала случай, когда одна из сторон вписанного угла является диаметром окружности (рис.8).

Описанная около треугольника окружность серединный перпендикуляр свойства доказательства

Рис.8

      Угол MPN, как угол,опирающийся на диаметр, является прямым углом, и равенство (1) вытекает из определения синуса угла прямоугольного треугольника.

      Поскольку все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны, то для произвольного вписанного угла всегда найдется равный ему вписанный угол, у которого одна из сторон является диаметром окружности.

      Формула (1) доказана.

      Из формулы (1) для вписанного треугольника ABC получаем (рис.7):

Теорема синусов доказательство

      Теорема синусов доказана.

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА) в учебном центре Резольвента

   На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра "Резольвента" учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА) по математике.

    Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика "проблемными".
       Запись по телефону (495) 509-28-10.

        Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ или ОГЭ (ГИА) по математике, физике или русскому языку на высокий балл, учебный центр "Резольвента" проводит

Описанная окружность центр радиус серединный перпендикуляр свойства теорема синусов курсы подготовки к ЕГЭ для школьников 11 класса
Описанная окружность центр радиус серединный перпендикуляр свойства теорема синусов курсы подготовки к ЕГЭ для школьников 10 класса
Описанная окружность центр радиус серединный перпендикуляр свойства теорема синусов курсы подготовки к ОГЭ (ГИА) для школьников 9 класса

         У нас также для школьников организованы

Описанная окружность центр радиус серединный перпендикуляр свойства теорема синусов индивидуальные занятия с репетиторами по математике
Описанная окружность центр радиус серединный перпендикуляр свойства теорема синусов индивидуальные занятия с репетиторами по русскому языку
Описанная окружность центр радиус серединный перпендикуляр свойства теорема синусов индивидуальные занятия с репетиторами по физике

МОСКВА, СВАО, Учебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"


Hosted by RopNet         Яндекс цитирования