Понятие о вещественных (действительных) числах, рациональные и иррациональные числа
Целые числа и рациональные дроби (простые дроби и смешанные числа) составляют множество рациональных чисел, которое обозначается символом 
Каждое из рациональных чисел можно представить в виде
,
где 
- целое число, а 
– натуральное число.
При обращении рациональных дробей в десятичные дроби получаются конечные и бесконечные периодические десятичные дроби.
Числа
и т.п. являются примерами иррациональных чисел.
Иррациональные числа нельзя представить в виде дроби, числитель которой является целым числом, а знаменатель натуральным числом.
При обращении иррациональных чисел в десятичные дроби получаются бесконечные непериодические десятичные дроби. Множество иррациональных чисел бесконечно.
Множество рациональных и иррациональных чисел составляют множество вещественных (действительных) чисел.
Множество вещественных чисел обозначают символом 
Иррациональность числа 
Проведем доказательство иррациональности числа методом «от противного». С этой целью предположим, что число является рациональным числом. Тогда существует дробь вида
,
удовлетворяющая равенству
и такая, у которой числитель и знаменатель являются натуральными числами, не имеющими простых общих делителей.
Используя данное равенство, получаем:
Отсюда вытекает, что число 
является четным числом, а, значит, и число является четным числом. Действительно, если мы предположим противное, т.е. предположим, что число является нечетным числом, то найдется такое целое число 
, которое удовлетворяет соотношению
Следовательно,
т.е. является нечетным числом. Полученное противоречие доказывает, что число является четным числом. Значит, найдется такое целое число , которое удовлетворяет соотношению
Поэтому,
Отсюда вытекает, что число 
является четным, а, значит, и число является четным числом.
Итак, число является четным, и число является четным, значит, число 2 является общим делителем числителя и знаменателя дроби
.
Полученное противоречие доказывает, что несократимой дроби, удовлетворяющей соотношению
не существует. Следовательно, число является иррациональным числом, что и требовалось доказать.
Десятичные приближения иррациональных чисел
с недостатком и с избытком
Разберем понятие десятичных приближений иррациональных чисел с недостатком и с избытком на конкретном примере. Для этого рассмотрим иррациональное число
Это число, как и любое другое иррациональное число, изображается бесконечной непериодической десятичной дробью.
Последовательностью десятичных приближений числа 
с недостатком называют последовательность конечных десятичных дробей, которая получится, если у числа отбросить все десятичные знаки, начиная, сначала с первого десятичного знака, затем со второго десятичного знака, потом с третьего десятичного знака и т.д.
Если последний десятичный знак каждого десятичного приближения числа с недостатком увеличить на 1, то получится десятичное приближение числа с избытком.
Само число располагается между каждым своим приближением с недостатком и соответствующим ему приближением с избытком.
Для числа возникающая бесконечная последовательность десятичных приближений с недостатком и с избытком, имеет следующий вид:
и т.д.
Точно также можно построить последовательность десятичных приближений с недостатком и с избытком для любого иррационального числа.
На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра "Резольвента" учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ГИА по математике.
Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика "проблемными".
Запись по телефону (495) 509-28-10. |
Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ или ГИА по математике, физике или русскому языку на высокий балл, учебный центр "Резольвента"
проводит
У нас также для школьников организованы
МОСКВА, СВАО, Учебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"
