Золотое отношение
Рассмотрим отрезок 
и точку 
, расположенную внутри него.
Говорят, что точка делит отрезок в золотом отношении, если длина отрезка так относится к длине отрезка 
, как длина отрезка относится к длине отрезка 
. При этом самим золотым отношением называют отношение длины отрезка к длине отрезка .
Термин «золотое отношение» имеет ряд синонимов: золотое сечение, золотая пропорция, гармоническая пропорция, золотое число, деление отрезка в крайнем и среднем отношении.
Следуя исторической традиции, будем золотое отношение обозначать символом 
. Для того, чтобы найти значение введем для длин отрезков и обозначения:
Тогда длина отрезка будет выражена формулой:
причем числа 
и 
будут удовлетворять неравенствам:
В случае, когда точка делит отрезок в золотом отношении, числа и удовлетворяют уравнению:
где
Выведем уравнение для переменной :
Следовательно,
Поскольку 
то второй корень должен быть отброшен.
Итак, золотое отношение
что и требовалось получить.
Правильный пятиугольник и его связь с золотым отношением
Золотое отношение встречается в различных областях человеческой деятельности: в скульптуре, архитектуре, живописи, музыке и т.д.
Приведем пример использования золотого отношения в планиметрии. Для этого рассмотрим правильный пятиугольник 
, вписанный в окружность радиуса 
с центром 
.
Заметив, что длины всех диагоналей пятиугольника равны, обозначим длину стороны пятиугольника символом , а длину диагоналей символом .
Теперь рассмотрим треугольник 
. Этот треугольник является равнобедренным треугольником с основанием 
и боковыми сторонами 
и 
, причем
Кроме того,
Следовательно,
Теперь, воспользовавшись тем, что
применим для треугольника теорему косинусов:
Разделив это равенство на 
, и заметив, что
получим соотношение:
Если в этом соотношении ввести, для упрощения записи, переменную 
по формуле
то возникает уравнение:
Для того, чтобы решить это уравнение, разложим его левую часть на множители:
В силу того, что
то первый и второй корни должны быть отброшены. Следовательно,
т.е. является золотым отношением.
В результате мы получили, что, во-первых, отношение диагонали правильного пятиугольника к стороне правильного пятиугольника равно золотому отношению, а, во-вторых, что для самого золотого отношения справедлива формула:
На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра "Резольвента" учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ГИА по математике.
Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика "проблемными".
Запись по телефону (495) 509-28-10. |
Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ или ГИА по математике, физике или русскому языку на высокий балл, учебный центр "Резольвента"
проводит
У нас также для школьников организованы
МОСКВА, СВАО, Учебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"
