Скорость тела. Средняя скорость тела |
Движение по реке. Скорость течения реки |
Движение по кольцевым трассам |
Решение задач на движение опирается на хорошо известную из курса физики формулу
позволяющую найти путь S , пройденный за время t телом, движущимся с постоянной скоростью v .
Сразу же сделаем важное
Замечание 1. Единицы измерения величин S , t и v должны быть согласованными. Например, если путь измеряется в километрах, а время – в часах, то скорость должна измеряться в км/час.
В случае, когда тело движется с разными скоростями на разных участках пути, вводят понятие средней скорости, которая вычисляется по формуле
(1) |
Например, если тело в течение времени t1 двигалось со скоростью v1 , в течение времени t2 двигалось со скоростью v2 , в течение времени t3 двигалось со скоростью v3 , то средняя скорость
(2) |
Задача 1. По расписанию междугородный автобус должен проходить путь в 100 километров с одной и той же скоростью и без остановок. Однако, пройдя половину пути, автобус был вынужден остановиться на 25 минут. Для того, чтобы вовремя прибыть в конечный пункт, водитель автобуса во второй половине маршрута увеличил скорость на 20 км/час. Какова скорость автобуса по расписанию?
Решение. Обозначим буквой v скорость автобуса по расписанию и будем считать, что скорость v измеряется в км/час. Изобразим данные, приведенные в условии задачи 1, на рисунке 1.
Рис. 1
Тогда
– время движения автобуса по расписанию (в часах);
– время, за которое автобус проехал первую половину пути (в часах);
v + 20 – скорость автобуса во второй половине пути (в км/час);
– время, за которое автобус проехал вторую половину пути (в часах).
В условии задачи дано время остановки автобуса – 25 минут. Его необходимо выразить в часах, чтобы все единицы измерения были согласованными:
Теперь можно составить уравнение, исходя из того, что автобус прибыл в конечный пункт вовремя, а, значит, время, которое он был в пути, плюс время остановки должно равняться времени движения автобуса по расписанию:
Решим это уравнение:
По смыслу задачи первый корень должен быть отброшен.
Ответ. 40 км/час.
Задача 2. (МИОО) Первый час автомобиль ехал со скоростью 120 км/час, следующие три часа – со скоростью 105 км/час, а затем три часа – со скоростью 65 км/час. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.
Решение. Воспользовавшись формулой (2), получаем
Ответ. 90 км/час.
Задача 3. Первую половину пути поезд шел со скоростью 40 км/час, а вторую половину пути – со скоростью 60 км/час. Найдите среднюю скорость поезда на протяжении всего пути.
Решение. Обозначим буквой S длину всего пути, выраженную в километрах. Изобразим данные, приведенные в условии задачи 3, на рисунке 2.
Рис. 2
Тогда
– время, за которое поезд прошел первую половину пути, выраженное в часах;
– время, за которое поезд прошел вторую половину пути, выраженное в часах.
Следовательно, время, за которое поезд прошел весь путь, равно
В соответствии с формулой (1) средняя скорость поезда на протяжении всего пути
Ответ. 48 км/час.
Замечание 2. Средняя скорость поезда в задаче 3 равна 48 км/час, а не 50 км/час, как иногда ошибочно полагают, вычисляя среднее арифметическое чисел (скоростей) 40 км/час и 60 км/час. Средняя скорость не равна среднему арифметическому скоростей, а является величиной, вычисляемой по формуле (1).
В отличие от задач на движение по суше, в задачах на движение по реке появляется новая величина – скорость течения реки.
По отношению к берегу, который неподвижен, скорость тела, движущегося по течению реки, равна сумме собственной скорости тела (скорости тела по озеру, скорости тела в неподвижной воде, скорости тела в стоячей воде) и скорости течения реки. По отношению к берегу скорость тела, движущегося против течения реки, равна разности собственной скорости тела и скорости течения реки.
Задача 4. Моторная лодка прошла по течению реки 14 км, а затем 9 км против течения, затратив на весь путь 5 часов. Скорость лодки в стоячей воде 5 км/час. Найдите скорость течения реки.
Решение. Обозначим буквой v скорость течения реки и будем считать, что скорость v измеряется в км/час.Изобразим данные, приведенные в условии задачи 4, на рисунке 3.
Рис. 3
Тогда
5 + v – скорость, с которой лодка шла по течению реки (в км/час);
– время движения лодки по течению реки (в часах);
5 – v – скорость, с которой лодка шла против течения реки (в км/час);
– время движения лодки против течения реки (в часах);
Теперь можно составить уравнение, принимая во внимание тот факт, что лодка находилась в пути 5 часов:
Решим это уравнение:
По смыслу задачи первый корень должен быть отброшен.
Ответ. 2 км/час.
Задача 5. (Бюро «Квантум») Моторная лодка прошла по течению реки 34 км и 39 км против течения, затратив на это столько же времени, сколько ей нужно, чтобы пройти 75 километров в стоячей воде. Найдите отношение скорости лодки в стоячей воде к скорости течения реки.
Решение. Обозначим vс (км/ч) скорость лодки в стоячей воде и обозначим vр (км/ч) скорость течения реки. Изобразим данные задачи 5 на рисунках 4 и 5.
Рис. 4
Рис. 5
Учитывая тот факт, что в обеих ситуациях лодка провела в пути одно и то же время, можно составить уравнение:
(3) |
Если ввести обозначение
то, воспользовавшись формулой
vс = xvр ,
перепишем уравнение (3) в виде
(4) |
Умножая уравнение (4) на vр , получим
По смыслу задачи первый корень должен быть отброшен.
Ответ. 7,5 .
Задача 6. (www.reshuege.ru) Из пункта A круговой трассы длиной 46 км выехал велосипедист, а через 20 минут из пункта A следом за велосипедистом отправился мотоциклист. Через 5 минут после отправления мотоциклист догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 46 минут после этого мотоциклист догнал велосипедиста во второй раз. Найдите скорости велосипедиста и мотоциклиста.
Решение. К тому моменту, когда мотоциклист в первый раз догнал велосипедиста, мотоциклист ехал 5 минут, а велосипедист ехал 25 минут, причем проехали они один и тот же путь. Отсюда вытекает, что скорость мотоциклиста в 5 раз больше скорости велосипедиста.
Таким образом, обозначив буквой v (км/час) скорость велосипедиста, получаем, что скорость мотоциклиста равна 5v (км/час).
В условии задачи дано время, прошедшее между двумя последовательными встречами мотоциклиста и велосипедиста, – 46 минут. Это время необходимо выразить в часах, чтобы все единицы измерения были согласованными:
Изобразим данные задачи, касающиеся движения мотоциклиста и велосипедиста между первой и второй встречами, на рисунке 6.
Рис. 6
Поскольку за время часа, прошедшее от момента первой встречи до момента второй встречи, мотоциклист проехал 46 км (вся круговая трасса) плюс путь, который проехал велосипедист за часа, то можно составить следующее уравнение:
Решая это уравнение, находим скорость велосипедиста:
v = 15 .
Ответ. Скорость велосипедиста 15 км/час, скорость мотоциклиста 75 км/час.
Задача 7. На дороге, представляющей собой окружность длиной 60 км, пункты A и B являются диаметрально противоположными точками. Велосипедист выехал из пункта A и сделал два круга. Первый круг он прошел с постоянной скоростью, после чего уменьшил скорость на 5 км/час. Время между двумя прохождениями велосипедиста через пункт B равно 5 часам. Найти скорость, с которой велосипедист прошел первый круг.
Решение. Для определенности будем считать, что велосипедист двигался по кругу по часовой стрелке и рассмотрим рисунок 7.
Рис. 7
Если обозначить буквой v (км/час) скорость, с которой велосипедист прошел первый круг, то скорость велосипедиста на втором круге будет равна v – 5 (км/час), и можно составить уравнение
Решая это уравнение, находим скорость велосипедиста на первом круге:
Поскольку скорость велосипедиста на первом круге больше, чем 5 км/час, то первый корень должен быть отброшен.
Ответ. 15 км/час.
Желающие ознакомиться с примерами решения различных задач по теме «Проценты» и применением процентов в экономике и финансовой математике могут посмотреть разделы нашего справочника «Проценты. Решение задач на проценты», «Простые и сложные проценты. Предоставление кредитов на основе процентной ставки», а также наши учебные пособия «Задачи на проценты» и «Финансовая математика».
Приемы, используемые для решения задач на выполнение работ представлены в разделе нашего справочника «Задачи на выполнение работ».
С примерами решения задач на смеси, сплавы и растворы можно ознакомиться в разделе нашего справочника «Задачи на смеси, сплавы и растворы».
С демонстрационными вариантами ЕГЭ и ОГЭ, опубликованными на официальном информационном портале Единого Государственного Экзамена, можно ознакомиться на специальной страничке нашего сайта.
До ЕГЭ по математике осталось | |||
дней | часов | минут | секунд |