Для удобства приведем Таблицу из введенных в разделе «Средние значения» определений средних значений для произвольного набора из n положительных действительных чисел
x1 , x2 , … , xn
Таблица – Средние значения
Обозначение | Формула | Название |
min ( x1 , x2 , … , xn ) | Минимум | |
M– 1 | Среднее гармоническое | |
M0 | Среднее геометрическое | |
M1 | Среднее арифметическое | |
M2 | Среднее квадратичное | |
max ( x1 , x2 , … , xn ) | Максимум |
Минимум |
Обозначение: Формула: min ( x1 , x2 , … , xn ) |
Среднее гармоническое |
Обозначение: M– 1 Формула: |
Среднее геометрическое |
Обозначение: M0 Формула: |
Среднее арифметическое |
Обозначение: M1 Формула: |
Среднее квадратичное |
Обозначение: M2 Формула: |
Максимум |
Обозначение: Формула: max ( x1 , x2 , … , xn ) |
Утверждение 1. Пусть p1 и p2 – произвольные действительные числа, удовлетворяющие неравенству p1< p2 . Тогда для произвольного набора из n положительных действительных чисел
x1 , x2 , … , xn
справедливо неравенство
,
причем в этом неравенстве знак равенства выполняется тогда и только тогда, когда все числа
x1 , x2 , … , xn
равны.
Замечание. Утверждение 1 остается справедливым и в случае, когда , и в случае, когда.
Следствие 1. Для произвольного набора из n положительных чисел
x1 , x2 , … , xn
справедливы следующие неравенства между его средними значениями:
Следствие 2. Для произвольного набора из n положительных чисел
x1 , x2 , … , xn
любые два из его средних значений
равны между собой тогда и только тогда, когда все числа
x1 , x2 , … , xn
равны.
Итак, для n произвольных положительных чисел
x1 , x2 , … , xn
справедлива следующая цепочка неравенств:
Неравенство
утверждающее, что среднее геометрическое n положительных чисел не превосходит их среднего арифметического, называется неравенством Коши.
В случае, когда n = 2 , неравенство Коши имеет вид
Докажем это неравенство:
что и требовалось.
Из неравенства Коши с n = 2 , взяв
нетрудно получить очень полезное следствие.
Следствие. Для произвольного положительного числа x выполнено неравенство
В случае n переменных неравенство о среднем гармоническом и среднем геометрическом имеет вид:
В случае, когда n = 2 , это неравенство имеет вид:
Докажем это неравенство:
На последнем этапе получилось неравенство Коши, доказанное в предыдущем разделе, следовательно, доказательство неравенства о среднем гармоническом и среднем геометрическом закончено.
В случае n переменных неравенство о среднем квадратичном и среднем арифметическом имеет вид:
В случае, когда n = 2 , это неравенство имеет вид:
Докажем это неравенство:
что и требовалось.
На сайте можно также ознакомиться с нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.
До ЕГЭ по математике осталось | |||
дней | часов | минут | секунд |