Неравенства между средними значениями

Справочник по математике для школьников алгебра Неравенства между средними значениямиНеравенства между средними значениями
Справочник по математике для школьников алгебра неравенство Коши о среднем арифметическом и среднем геометрическомНеравенство Коши о среднем арифметическом и среднем геометрическом
Справочник по математике для школьников алгебра неравенство о среднем гармоническом и среднем геометрическомНеравенство о среднем гармоническом и среднем геометрическом
Справочник по математике для школьников алгебра неравенство о среднем квадратичном и среднем арифметическомНеравенство о среднем квадратичном и среднем арифметическом
Неравенства между средними значениями неравенство Коши неравенство о средним гармоческом и средним геометрическом неравенство о среднем квадратичном и средним арифметическом

Неравенства между средними значениями

      Для удобства приведем Таблицу из введенных в разделе «Средние значения» определений средних значений для произвольного набора из   n   положительных действительных чисел

x1 ,  x2 , … , xn

      Таблица – Средние значения

ОбозначениеФормула Название
Средние значения среднее арифметическое среднее геометрическое среднее гармоническое среднее пропорциональное среднее квадратическое определения и формулыmin ( x1 ,  x2 , … , xn )Минимум
M– 1Средние значения среднее арифметическое среднее геометрическое среднее гармоническое среднее пропорциональное среднее квадратическое определения и формулыСреднее гармоническое
M0Средние значения среднее арифметическое среднее геометрическое среднее гармоническое среднее пропорциональное среднее квадратическое определения и формулыСреднее геометрическое
M1Средние значения среднее арифметическое среднее геометрическое среднее гармоническое среднее пропорциональное среднее квадратическое определения и формулыСреднее арифметическое
M2Средние значения среднее арифметическое среднее геометрическое среднее гармоническое среднее пропорциональное среднее квадратическое определения и формулыСреднее квадратичное
Средние значения среднее арифметическое среднее геометрическое среднее гармоническое среднее пропорциональное среднее квадратическое определения и формулыmax ( x1 ,  x2 , … , xn )Максимум
Минимум

Обозначение:

Средние значения среднее арифметическое среднее геометрическое среднее гармоническое среднее пропорциональное среднее квадратическое определения и формулы

Формула:

min ( x1 ,  x2 , … , xn )

Среднее гармоническое

Обозначение:

M– 1

Формула:

Средние значения среднее арифметическое среднее геометрическое среднее гармоническое среднее пропорциональное среднее квадратическое определения и формулы

Среднее геометрическое

Обозначение:

M0

Формула:

Средние значения среднее арифметическое среднее геометрическое среднее гармоническое среднее пропорциональное среднее квадратическое определения и формулы

Среднее арифметическое

Обозначение:

M1

Формула:

Средние значения среднее арифметическое среднее геометрическое среднее гармоническое среднее пропорциональное среднее квадратическое определения и формулы

Среднее квадратичное

Обозначение:

M2

Формула:

Средние значения среднее арифметическое среднее геометрическое среднее гармоническое среднее пропорциональное среднее квадратическое определения и формулы

Максимум

Обозначение:

Средние значения среднее арифметическое среднее геометрическое среднее гармоническое среднее пропорциональное среднее квадратическое определения и формулы

Формула:

max ( x1 ,  x2 , … , xn )

      Утверждение 1. Пусть   p1   и   p2   – произвольные действительные числа, удовлетворяющие неравенству   p1< p2 .   Тогда для произвольного набора из   n   положительных действительных чисел

x1 ,  x2 , … , xn

справедливо неравенство

Неравенства между средними значениями неравенство Коши неравенство о средним гармоческом и средним геометрическом неравенство о среднем квадратичном и средним арифметическом,

причем в этом неравенстве знак равенства выполняется тогда и только тогда, когда все числа

x1 ,  x2 , … , xn

равны.

      Замечание. Утверждение 1 остается справедливым и в случае, когда Неравенства между средними значениями неравенство Коши неравенство о средним гармоческом и средним геометрическом неравенство о среднем квадратичном и средним арифметическом, и в случае, когдаНеравенства между средними значениями неравенство Коши неравенство о средним гармоческом и средним геометрическом неравенство о среднем квадратичном и средним арифметическом.

      Следствие 1. Для произвольного набора из   n   положительных чисел

x1 ,  x2 , … , xn

справедливы следующие неравенства между его средними значениями:

Неравенства между средними значениями неравенство Коши неравенство о средним гармоческом и средним геометрическом неравенство о среднем квадратичном и средним арифметическом
Неравенства между средними значениями неравенство Коши неравенство о средним гармоческом и средним геометрическом неравенство о среднем квадратичном и средним арифметическом

      Следствие 2. Для произвольного набора из   n   положительных чисел

x1 ,  x2 , … , xn

любые два из его средних значений

Неравенства между средними значениями неравенство Коши неравенство о средним гармоческом и средним геометрическом неравенство о среднем квадратичном и средним арифметическом
Неравенства между средними значениями неравенство Коши неравенство о средним гармоческом и средним геометрическом неравенство о среднем квадратичном и средним арифметическом

равны между собой тогда и только тогда, когда все числа

x1 ,  x2 , … , xn

равны.

      Итак, для   n   произвольных положительных чисел

x1 ,  x2 , … , xn

справедлива следующая цепочка неравенств:

Неравенства между средними значениями неравенство Коши неравенство о средним гармоческом и средним геометрическом неравенство о среднем квадратичном и средним арифметическом
Неравенства между средними значениями неравенство Коши неравенство о средним гармоческом и средним геометрическом неравенство о среднем квадратичном и средним арифметическом
Неравенства между средними значениями неравенство Коши неравенство о средним гармоческом и средним геометрическом неравенство о среднем квадратичном и средним арифметическом

Неравенство Коши о среднем арифметическом и среднем геометрическом

      Неравенство

Неравенства между средними значениями неравенство Коши неравенство о средним гармоческом и средним геометрическом неравенство о среднем квадратичном и средним арифметическом
Неравенства между средними значениями неравенство Коши неравенство о средним гармоческом и средним геометрическом неравенство о среднем квадратичном и средним арифметическом

утверждающее, что среднее геометрическое   n   положительных чисел не превосходит их среднего арифметического, называется неравенством Коши.

      В случае, когда   n = 2 ,   неравенство Коши имеет вид

Неравенства между средними значениями неравенство Коши неравенство о средним гармоческом и средним геометрическом неравенство о среднем квадратичном и средним арифметическом
Неравенства между средними значениями неравенство Коши неравенство о средним гармоческом и средним геометрическом неравенство о среднем квадратичном и средним арифметическом

      Докажем это неравенство:

Неравенства между средними значениями неравенство Коши неравенство о средним гармоческом и средним геометрическом неравенство о среднем квадратичном и средним арифметическом
Неравенства между средними значениями неравенство Коши неравенство о средним гармоческом и средним геометрическом неравенство о среднем квадратичном и средним арифметическом

что и требовалось.

     Из неравенства Коши с   n = 2 ,   взяв

Неравенства между средними значениями неравенство Коши неравенство о средним гармоческом и средним геометрическом неравенство о среднем квадратичном и средним арифметическом

нетрудно получить очень полезное следствие.

      Следствие. Для произвольного положительного числа   x   выполнено неравенство

Неравенства между средними значениями неравенство Коши неравенство о средним гармоческом и средним геометрическом неравенство о среднем квадратичном и средним арифметическом

Неравенство о среднем гармоническом и среднем геометрическом

      В случае   n   переменных неравенство о среднем гармоническом и среднем геометрическом имеет вид:

Неравенства между средними значениями неравенство Коши неравенство о средним гармоческом и средним геометрическом неравенство о среднем квадратичном и средним арифметическом
Неравенства между средними значениями неравенство Коши неравенство о средним гармоческом и средним геометрическом неравенство о среднем квадратичном и средним арифметическом

      В случае, когда   n = 2 ,   это неравенство имеет вид:

Неравенства между средними значениями неравенство Коши неравенство о средним гармоческом и средним геометрическом неравенство о среднем квадратичном и средним арифметическом
Неравенства между средними значениями неравенство Коши неравенство о средним гармоческом и средним геометрическом неравенство о среднем квадратичном и средним арифметическом

      Докажем это неравенство:

Неравенства между средними значениями неравенство Коши неравенство о средним гармоческом и средним геометрическом неравенство о среднем квадратичном и средним арифметическом
Неравенства между средними значениями неравенство Коши неравенство о средним гармоческом и средним геометрическом неравенство о среднем квадратичном и средним арифметическом
Неравенства между средними значениями неравенство Коши неравенство о средним гармоческом и средним геометрическом неравенство о среднем квадратичном и средним арифметическом
Неравенства между средними значениями неравенство Коши неравенство о средним гармоческом и средним геометрическом неравенство о среднем квадратичном и средним арифметическом

      На последнем этапе получилось неравенство Коши, доказанное в предыдущем разделе, следовательно, доказательство неравенства о среднем гармоническом и среднем геометрическом закончено.

Неравенство о среднем квадратичном и среднем арифметическом

      В случае   n   переменных неравенство о среднем квадратичном и среднем арифметическом имеет вид:

Неравенства между средними значениями неравенство Коши неравенство о средним гармоческом и средним геометрическом неравенство о среднем квадратичном и средним арифметическом
Неравенства между средними значениями неравенство Коши неравенство о средним гармоческом и средним геометрическом неравенство о среднем квадратичном и средним арифметическом

      В случае, когда   n = 2 ,   это неравенство имеет вид:

Неравенства между средними значениями неравенство Коши неравенство о средним гармоческом и средним геометрическом неравенство о среднем квадратичном и средним арифметическом
Неравенства между средними значениями неравенство Коши неравенство о средним гармоческом и средним геометрическом неравенство о среднем квадратичном и средним арифметическом

      Докажем это неравенство:

Неравенства между средними значениями неравенство Коши неравенство о средним гармоческом и средним геометрическом неравенство о среднем квадратичном и средним арифметическом
Неравенства между средними значениями неравенство Коши неравенство о средним гармоческом и средним геометрическом неравенство о среднем квадратичном и средним арифметическом
Неравенства между средними значениями неравенство Коши неравенство о средним гармоческом и средним геометрическом неравенство о среднем квадратичном и средним арифметическом
Неравенства между средними значениями неравенство Коши неравенство о средним гармоческом и средним геометрическом неравенство о среднем квадратичном и средним арифметическом

что и требовалось.

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре Резольвента

      На сайте можно также ознакомиться с нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

До ЕГЭ по математике осталось
днейчасовминутсекунд

НАШИ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Справочник
по математике
для школьников
Наши учебные пособия
ОФИЦИАЛЬНЫЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Демонстрационные варианты ЕГЭ


НАШИ ПАРТНЕРЫ

Rambler's Top100    Рейтинг@Mail.ru 

Метрика Яндекса
Яндекс.Метрика