Логарифмы
Определение логарифма, основное логарифмическое тождество
Рассмотрим два произвольных действительных числа 
и 
, удовлетворяющих условиям
 |
(1) |
Определение. Логарифмом числа по основанию называют такую степень, в которую надо возвести число , чтобы получить число .
Другими словами, логарифм числа по основанию - это такое число 
, которое является решением уравнения
 |
(2) |
Доказательство того, что решение уравнения (2) существует и единственно, выходит за рамки школьной программы.
Для логарифма числа по основанию используется обозначение:
Таким образом, для всех действительных чисел и , удовлетворяющих условиям (1), справедливо равенство
которое часто называют основным логарифмическим тождеством.
Замечание. Обратим особое внимание на то, что при решении уравнения (2) мы ищем показатель степени, а при решении уравнения
мы ищем основание степени, которое вычисляется по формуле
и в случае, когда - натуральное число, является корнем натуральной степени из числа .
Пример 1. Решить уравнение
Решение. Воспользовавшись понятием кубического корня и свойствами степеней, получаем
Ответ: 
.
Пример 2. Решить уравнение
Решение. Воспользовавшись тем, что число 81 является четвертой степенью числа 3, получаем:
Ответ: 4.
Задача. Доказать, что число
иррационально.
Решение. Предположим противное, т.е. предположим, что указанное число рационально. Тогда существует несократимая дробь
,
числитель и знаменатель которой являются натуральными числами и такая, что справедливо равенство:
Из определения логарифма отсюда вытекает равенство:
следствием которого является равенство:
Но последнее равенство невозможно, поскольку его левая часть четная, а правая – нечетная. Полученное противоречие доказывает требуемое в задаче утверждение.
Свойства логарифмов
Перечисленные ниже свойства логарифмов вытекают из основного логарифмического тождества:
 |  |
|  |
|  |
| 
(основное свойство логарифмов), |
|  |
|  |
|  |
| 
(формула перехода к новому основанию логарифмов), |
|  |
|  |
Использование свойств логарифмов при решении логарифмических уравнений и неравенств
Для того, чтобы не ошибаться при решении логарифмических уравнений и неравенств, свойства логарифмов, перечисленные в предыдущем разделе, следует применять внимательно и аккуратно.
Например, если при решении уравнения или неравенства требуется преобразовать выражение
то вместо формулы
следует применять формулу
поскольку в противном случае можно потерять корни.
По той же причине при преобразовании выражений
и 
следует использовать формулы:
Замечание. Желающим усовершенствовать свои знания и умения при решении уравнений и неравенств с логарифмами мы рекомендуем ознакомиться с нашими учебными пособиями «Решение логарифмических уравнений» и «Решение логарифмических неравенств».
Десятичные логарифмы и натуральные логарифмы
В математике, физике и во многих других областях естествознания и технологий важное место занимают десятичные логарифмы и натуральные логарифмы.
Десятичные логарифмы – это логарифмы с основанием 10, а основанием натуральных логарифмов является иррациональное и трансцендентное число 
, которое определяется по формуле
доказательство которой выходит за рамки школьной программы.
Для десятичных и натуральных логарифмов используются соответственно обозначения:
и 
причем
Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика "проблемными".
Запись по телефону (495) 509-28-10. |
На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра "Резольвента" учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ГИА по математике.
Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ или ГИА по математике, физике или русскому языку на высокий балл, учебный центр "Резольвента"
проводит
У нас также для школьников организованы
МОСКВА, СВАО, Учебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"
