Справочник по математике

Алгебра

Логарифмы

Логарифмы

Определение логарифма, основное логарифмическое тождество

Свойства логарифмов

Использование свойств логарифмов при решениии логарифмических уравнений и неравенств

Десятичные логарифмы и натуральные логарифмы

Определение логарифма, основное логарифмическое тождество

      Рассмотрим два произвольных действительных числа   a   и   b,   удовлетворяющих условиям

(1)

      Определение. Логарифмом числа   b   по основанию   a   называют такую степень, в которую надо возвести число   a,   чтобы получить число   b.

      Другими словами, логарифм числа   b   по основанию   a   – это такое число   x,   которое является решением уравнения

      Доказательство того, что решение уравнения (2) существует и единственно, выходит за рамки школьной программы.

      Для логарифма числа   b   по основанию   a   используется обозначение:

log_a b .

      Таким образом, для всех действительных чисел   a   и   b,   удовлетворяющих условиям (1), справедливо равенство

которое часто называют основным логарифмическим тождеством.

      Замечание. Обратим особое внимание на то, что при решении уравнения (2) мы ищем показатель степени, а при решении уравнения

x ^a = b.

мы ищем основание степени, которое вычисляется по формуле

и в случае, когда   a   – натуральное число, является корнем натуральной степени из числа   b.

      Пример 1. Решить уравнение

x³ = 81 .

      Решение. Воспользовавшись понятием кубического корня и свойствами степеней, получаем

      Ответ: .

      Пример 2. Решить уравнение

3^x= 81 .

      Решение. Воспользовавшись тем, что число   81   является четвертой степенью числа   3 ,   получаем:

      Ответ:   4 .

      Задача. Доказать, что число

log₂ 3

иррационально.

      Решение. Предположим противное, т.е. предположим, что указанное число рационально. Тогда существует несократимая дробь

,

числитель и знаменатель которой являются натуральными числами и такая, что справедливо равенство:

      Из определения логарифма отсюда вытекает равенство:

следствием которого является равенство:

2^m= 3ⁿ .

      Но последнее равенство невозможно, поскольку его левая часть четное число, а правая – нечетное. Полученное противоречие доказывает требуемое в задаче утверждение.

Свойства логарифмов

      Перечисленные ниже свойства логарифмов вытекают из основного логарифмического тождества:

	(основное свойство логарифмов),
	(основное свойство логарифмов),
	(формула перехода к новому основанию логарифмов),

(основное свойство логарифмов),

(основное свойство логарифмов),

(формула перехода к новому основанию логарифмов),

Использование свойств логарифмов при решении логарифмических уравнений и неравенств

      Для того, чтобы не ошибаться при решении логарифмических уравнений и неравенств, свойства логарифмов, перечисленные в предыдущем разделе, следует применять внимательно и аккуратно.

      Например, если при решении уравнения или неравенства требуется преобразовать выражение

log_a ( f (x)² ) ,

то вместо формулы

следует применять формулу

поскольку в противном случае можно потерять корни.

      По той же причине при преобразовании выражений

log_a ( f (x) g (x))    и

следует использовать формулы:

и

      Замечание. Желающим усовершенствовать свои знания и умения при решении уравнений и неравенств с логарифмами мы рекомендуем ознакомиться с нашими учебными пособиями «Решение логарифмических уравнений» и «Решение логарифмических неравенств».

Десятичные логарифмы и натуральные логарифмы

      В математике, физике и во многих других областях естествознания и технологий важное место занимают десятичные логарифмы и натуральные логарифмы.

      Десятичные логарифмы – это логарифмы с основанием   10,   а основанием натуральных логарифмов является иррациональное и трансцендентное число   e,   которое определяется по формуле

доказательство которой выходит за рамки школьной программы.

      Для десятичных и натуральных логарифмов используются соответственно обозначения:

lg b       и       ln b,

причем

lg e = 0,43429…,

ln 10 = 2,30259…

      Графики логарифмических функций представлены в разделе «Графики степенных, показательных и логарифмических функций» нашего справочника.

      На сайте можно также ознакомиться с нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.