Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия |
Определение 1. Числовую последовательность
b1 , b2 , … bk , …
все члены которой отличны от нуля, называют геометрической прогрессией, если справедливы равенства
Определение 2. Если последовательность чисел
b1 , b2 , … bk , …
является геометрической прогрессией, то число q , определенное формулой
называют знаменателем этой геометрической прогрессии.
Из определений 1 и 2 следует, что для того, чтобы задать геометрическую прогрессию, нужно знать два числа, например, первый член геометрической прогрессии b1 и знаменатель геометрической прогрессии q . Если числа b1 и q известны, то все остальные члены прогрессии можно найти по формулам:
| (1) |
По этой причине многие задачи на геометрическую прогрессию удобно решать при помощи составления системы уравнений для определения чисел b1 и q.
Из формул (1) вытекает общая формула
bk = b1qk – 1, k = 1, 2, 3, … | (2) |
позволяющая по любому номеру k вычислить член bk геометрической прогрессии, зная первый член и знаменатель прогрессии. Эта формула носит название формулы общего члена геометрической прогрессии.
Из формулы (2) вытекает утверждение, называемое характеристическим свойством геометрической прогрессии. Это свойство формулируется так: - «Квадрат каждого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, равен произведению своих соседних членов». Таким образом, характеристическое свойство геометрической прогрессии утверждает, что при справедливо равенство
(3) |
В случае, когда
b1 > 0 и q > 0
все члены геометрической прогрессии будут положительными, и формулу (3) можно переписать в другом виде:
(4) |
Равенство (4) означает, что каждый член такой геометрической прогрессии, начиная со второго, равен среднему геометрическому своих соседних членов.
Если для суммы первых k членов геометрической прогрессии ввести обозначение
Sk = b1 + b2 + … + bk ,
k = 1, 2, 3, …
то, воспользовавшись равенствами (1), получаем
q Sk =
= b1q + b2q + … + bk q =
= b2 + b3 + … + bk +1 .
Следовательно,
Sk – q Sk = b1 – bk +1 .
Таким образом , при будет справедливо равенство
которое называется формулой для суммы первых k членов геометрической прогрессии.
В случае, когда q = 1, все члены геометрической прогрессии равны, что не представляет особого интереса.
Определение 3. Геометрическую прогрессию называют бесконечно убывающей, если её знаменатель удовлетворяет неравенству
| q | < 1 .
В этом случае выполнено равенство
а величину S называют суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
Более подробно с понятием предела числовой последовательности можно ознакомиться в в разделе «Пределы числовых последовательностей» нашего справочника.
С примерами решений различных задач по теме «Геометрическая прогрессия» можно ознакомиться в нашем учебном пособии «Арифметическая и геометрическая прогрессии».
На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.
До ЕГЭ по математике осталось | |||
дней | часов | минут | секунд |
|