Справочник по математике

Алгебра

Формулы сокращенного умножения

Бином Ньютона

Формула бинома Ньютона

Связь бинома Ньютона с треугольником Паскаля

Свойства биномиальных коэффициентов

Формула бинома Ньютона

      В Таблице 1 из раздела «Формулы сокращенного умножения» приведены формулы для натуральных степеней бинома

(x + y)ⁿ

в случаях, когда   n = 1, 2, 3, 4, 5, 6.

      В настоящем разделе рассматривается общий случай этой формулы, т.е. случай произвольного натурального значения  n .

      Материал настоящего раздела близко связан с материалом разделов «Формулы сокращенного умножения: степень суммы и степень разности», «Треугольник Паскаля» и «Комбинаторика: размещения и сочетания».

      Утверждение. Для любого натурального числа   n   и любых чисел  x  и  y  справедлива формула бинома Ньютона:

(1)

где

(2)

– числа сочетаний из  n  элементов по  k  элементов.

      В формуле (1) слагаемые

называют членами разложения бинома Ньютона, а числа сочетаний  – коэффициентами разложения или биномиальными коэффициентами.

      Если в формуле (1) заменить   y   на   – y ,   то мы получим формулу для   n - ой степени разности:

Связь бинома Ньютона с треугольником Паскаля

      Напомним, что треугольник Паскаля имеет следующий вид:

      Поскольку числа, составляющие треугольник Паскаля, являются биномиальными коэффициентами, то треугольник Паскаля можно переписать в другом виде:

№	Треугольник Паскаля
0
1
2
3
4
5
6
…	…

Треугольник Паскаля

…

Треугольник Паскаля

…

Свойства биномиальных коэффициентов

      Для биномиальных коэффициентов справедливы равенства:

1
2
3
4

к доказательству которых мы сейчас и переходим.

      Докажем сначала равенство 1.

      Это равенство отражает основное свойство треугольника Паскаля, заключающееся в том, что в каждой из строк треугольника Паскаля, начиная со строки с номером   2 ,   между числами   1   стоят числа, каждое из которых равно сумме двух чисел, стоящих над ним в предыдущей строке.

      Для доказательства равенства 1 воспользуемся формулой (2):

что и требовалось.

      Для доказательства равенства 2 положим в формуле бинома Ньютона (1)    x = 1,   y = 1.

      Если же в формуле бинома Ньютона (1) взять   x = 1,   y = –1, то получится равенство 3.

      Перейдем к доказательству равенства 4. С этой целью положим в формуле бинома Ньютона (1)    y = 1

(3)

      Воспользовавшись очевидным равенством

перепишем формулу (3) в другом виде

(4)

      Если теперь перемножить формулы (3) и (4), то мы получим равенство:

(5)

      Если к левой части формулы (5) применить формулу бинома Ньютона, а затем, раскрыв в правой части скобки и приведя подобные члены, приравнять коэффициенты при   xⁿ в левой и в правой частях, то мы получим следующее равенство:

что и требовалось.