Справочник по математике

Алгебра

Формулы сокращенного умножения

Бином Ньютона

Формула бинома Ньютона

      В Таблице 1 из раздела «Формулы сокращенного умножения» приведены формулы для натуральных степеней бинома

в случаях, когда

      В настоящем разделе рассматривается общий случай этой формулы, т.е. случай произвольного натурального значения   .

      Материал настоящего раздела близко связан с материалом разделов «Формулы сокращенного умножения: степень суммы и степень разности», «Треугольник Паскаля» и «Комбинаторика: размещения и сочетания».

      Утверждение. Для любого натурального числа  и  любых чисел  и   справедлива формула бинома Ньютона:

(1)

где

(2)

- числа сочетаний из  элементов по   элементов.

      В формуле (1) слагаемые

называют членами разложения бинома Ньютона, а числа сочетаний  - коэффициентами разложения или биномиальными коэффициентами.

      Если в формуле (1) заменить  на , то мы получим формулу для  - ой степени разности:

Связь бинома Ньютона с треугольником Паскаля

      Напомним, что треугольник Паскаля имеет следующий вид:

№	Треугольник Паскаля
0
1
2
3
4
5
6
...	...

      Поскольку числа, составляющие треугольник Паскаля, являются биномиальными коэффициентами, то треугольник Паскаля можно переписать в другом виде:

№	Треугольник Паскаля
0
1
2
3
4
5
6
...	...

Свойства биномиальных коэффициентов

      Для биномиальных коэффициентов справедливы равенства:

1. 
2. 
3. 
4. 

к доказательству которых мы сейчас и переходим.

      Докажем сначала равенство 1.

      Это равенство отражает основное свойство треугольника Паскаля, заключающееся в том, что в каждой из строк треугольника Паскаля, начиная со строки с номером 2, между числами 1 стоят числа, каждое из которых равно сумме двух чисел, стоящих над ним в предыдущей строке.

      Для доказательства равенства 1 воспользуемся формулой (2):

что и требовалось.

      Теперь докажем равенства 2 и 3. С этой целью положим в формуле (1) переменную  равной 1. Тогда получим формулу:

(3)

      Если теперь в формулу (3) подставить значение , то мы получим равенство 2.

      Если же в формулу (3) подставить значение  , то мы получим равенство 3.

      Перейдем к доказательству равенства 4.

      Для этого перепишем формулу (3) в виде

(4)

      Если теперь перемножить формулы (3) и (4), то мы получим формулу:

(5)

      Если к левой части формулы (5) применить формулу бинома Ньютона, а затем, раскрыв в правой части скобки и приведя подобные члены, приравнять коэффициенты при  в левой и в правой частях, то мы  получим следующее равенство:

что и требовалось.

 

Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика "проблемными".        Запись по телефону (495) 509-28-10.

   На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра "Резольвента" учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ГИА по математике.

        Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ или ГИА по математике, физике или русскому языку на высокий балл, учебный центр "Резольвента" проводит

курсы подготовки к ЕГЭ для школьников 11 класса

курсы подготовки к ГИА для школьников 9 класса

         У нас также для школьников организованы

индивидуальные занятия с репетиторами по математике

индивидуальные занятия с репетиторами по русскому языку

индивидуальные занятия с репетиторами по физике

МОСКВА, СВАО, Учебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"